2018年太原理工大学数学学院883概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设事件A ，B ，C 的概率都是
【答案】因为
上式移项即得结论.
2． 设
是独立同分布的正值随机变量，证明:
【答案】记又因为由此得
3． 来自正态总体于对称，
且
【答案】记正态分布则容量为
的样本中位数
的分布函数与密度函数分别为
的密度函数为
令
此变换的雅可比行列式的绝对值
于是y 的密度函数为
其中可得
第 2 页，共 43 页
，且
，证明:
，则诸同分布，且由
，所以有
，知|
存在且相等，
的容量为的样本中位数是证明的密度函数关
与
与分别是标准正态分布
的分布函数与密度函数，依据它们的性质
这表明密度函数同时还有
与
是偶函数，从而
的密度函数关于对称，
4． 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若随机变量立，
则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是泊松分布
5． 设随机变量X 服从为x 的指数分布，证明:
【答案】因为令
W
的逆变换为
的特征函数，由唯一性定理知上的均匀分布，在服从参数为1的指数分布.
所以
此变换的雅可比行列式为
所以由此得
的联合密度函数为
且X 与Y 独
的条件下，随机变量Y 的条件分布是参数
的边际密度函数为
这表明:
服从参数为1的指数分布.
6． 设连续随机变量X 的密度函数为P(x),试证:P(x)关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.
【答案】记X 的特征函数为为
这表明X 与从而X 与即数，
由于
的特征函数为
所以
故
是实的偶函数.
有相同的特征函数，
有相同的密度函数，而X 的密度函数为
则X 与
所以得
有相同的特征函
先证充分性. 若
是实的偶函数，则
又因
关于原点是对称的.
有相同的密度函数，所以X 与
再证必要性，若
第 3 页，共 43 页
7．
设计.
独立同分布
, 证明
:
是的相合估
【答案】由于
这就证明了
是的相合估计.
且X 与Y 独立，
的特征函数，由唯一性定理知
8． 试用特征函数的方法证明分布的可加性:若随机变量
则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是
分布
二、计算题
9． 对下列数据构造茎叶图
【答案】取百位数与十位数组成茎，个位数为叶，这组数据的茎叶图如下:
图
第 4 页，共 43 页