2017年扬州大学数学科学学院822高等代数(理)考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设
其中A 可逆，则A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为 2． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
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=（ ）.
则当（ ）时，此时二次型为正定二
为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1
方法4令
所以f 为正定的.
3． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
【答案】D 【解析】
4． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若当C.
5． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使
C. 存在可逆阵C 使【答案】D
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则线性方程组（ ）•
使AB=0, 则（ ）
.
由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
时，
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
二、分析计算题
6． 设V 是数域K 上的n 维线性空间，g 是V 上的非退化的对称双线性函数，W 是V 的子空间，令
证明： （1）（2）
将之扩充为V 的基
于是
的充要条件是其坐标是齐次线性方程组
设g 关于此
【答案】（1）取W 的一个基基下的度量矩阵为A ，则A 可逆. 因为
的解. 由（10-6）的系数矩阵的秩为r , 得到（10-6）的基础解系含n —r 个解向量，以其为坐标的向量设为
（2）记
则
由（1）知
证明就是
的基，于是显然
由
故结论成立.
故
7． 设A 的特征多项式为，
与A 相似，k 是正整数.
【答案】由若当定理知，存在可逆矩阵P ，使得
这里于是
由
下面证明
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