2017年厦门大学数学科学学院825高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
2． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若当C.
3． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
时，
由AB=0, 用
右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
使AB=0, 则（ ）
.
所以A 的特征值为3，3，0；而
则A 与B （ ）.
的通解为（ ）
【答案】C
【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到 4． 设
其中A 可逆，则A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为
5． 设n （n ≥3）阶矩阵
是（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组的两个线性无关的解.
的一个特解，所以选C.
=（ ）.
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）.
A.1 B. C.-1 D.
故
但当a=l时，
【答案】B 【解析】
二、分析计算题
6． 证明：向量
是向量在子空间
上的内射影的充分必要条件是，对任意的
有
其中
故有
【答案】如果是在上的内射影，则对任意的
因此
即条件是必要的. 又若有于是有
但是已证明
故
7． 设U
是由
生成的
（1）U+W： （2）
的维数与基底.
可得
由于
且（2）令
因为秩再令故
的一组基.
所以齐次方程组①的基础解系由一个向量组成：
，则
8． 设T 是欧氏空间V 的一个变换. 证明：若
则T 是V 的线性变换，从而是对称变换. 【答案】因为（7）成立，故对
有
也满足对任意有
推出即证明了充分性.
生成的
的子空间，求
的子空间，W
是由
【答案】（1）令
所以
为
故
的一个极大线性无关组，因此又可得
为U+W的一组基.