当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设

【答案】

由题设

于是原命题得证.

2． 证明以下数列发散：

(1) (2) (3)

.

易知，若一个数列收敛于a ，则它的任何子列也收敛于a ，

数列

收敛于1，而奇数项组成的子列的第2k 项为

收敛于一1，从

的偶数项组成的子列

而数列

(3) 令

}发散.

(2) 收敛数列必有界. 而数列

发散.

则

于是

3． 设

和在点

数列的某邻域内存在 有：

即有

于是有

第 2 页，共 23 页

证明介于1与之间.

可知

【答案】(1)

由定理

于是这个数列是无界的，从而

的两个子列的极限不相等，故数列

在点

连续，证明则

发散. 也存在，且

【答案】对于固定的

与

令中值定理，

的邻域可微，从而由微分

故

.

4． 证明：若

【答案】

记

故

界的定义知，

分别存在故

使

及

即

从而由上界确定义知

有

存在，且

在区间A 上有界，则

若

则

为常数，等式显然成立.

设

另一方面

则

由上、下确

命题得证.

二、解答题

5． 已知

级数

发散，求证级数知，级数

于是有

也发散.

均为正项级数.

【答案】反证法由假设级数

收敛，则

从而由正项级数的比较判别法知级数

6． 以

收敛，这与题设矛盾，所以原命题成立.

分别表示各双曲函数的反函数. 试求下列函数的导数：

由

于是

第 3 页，共 23 页

【答案】换为

得

得

把上式中的x 替

当时由

于是

得故

（6）由（1）得

7． 设f 为连续可微函数. 试求

【答案】

由于

8． 求

在球面

所以

时，函数

上的极大值；并证明当a , b , c 为正实数时，有

【答案】构造拉格朗日函数

令

解出驻点为

下面来判断这个驻点为极大值点. 由

可得L 在驻点处的海森矩阵

并用此结果求

第 4 页，共 23 页