2017年郑州大学数学与统计学院655数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1．
设悬链方程为
证明：(1)
【答案】(1) 由弧长公式得
由定积分的几何意义可得
(2) 旋转体体积为
侧面积为
所以
(3) x=t处的截面面积为
所以
2． 证明：若(1)
它在
上的一段弧长和曲边梯形的面积分别记为：(2)
(3)
该曲边梯形绕x 轴一周所得旋转体体积、侧面积和x=t处的截面面积分别记为
存在且等于A ;
存在
当
内
时
1时，有
1存在.
令
(2) y在b 的某邻域内，存在有【答案】由条件(1) 知：对任给
又由条件(2) 知：当：^在1) 的某邻
域
时，在①式中，令
从而
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得
即
3．
设
在
上连续，对于区
间
中的每一个
点总存在
. 使
得
求证：至少存在一点【答案】用反证法, 如果函数因为
在
点
在使
得
这与
点.
4． 己知
上连续，所以
使得在
上没有零点，那么函数由题设条件知，
在
在内
存在在
上也没有零点，
，使
得
上至少有一个零
. 根据闭区间连续函数的性质，必存在最小值，即存是最小值相矛盾，所以函数
都是可微的
，
证明：
【答案】因为
故原式成立.
二、解答题
5． 设f 为连续可微函数. 试求
【答案】
由于
6． 设试用
【答案】由
所以
和一组函数
得
，那么由方程
可以确定函数
并用此结果求
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于是
7． 试改变下列累次积分的顺序：
【答案】(1) 积分区域
如图1由于V 在xy 平面上的投影区域
图 1
从而
由于V 在从而
由于V 在从而
(2) 积分区域
如图2
平面上的投影区域
平面上的投影区域
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