2017年郑州大学联合培养单位周口师范学院655数学分析考研导师圈点必考题汇编
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一、证明题
1． 设二元函数
证明：对任意
【答案】应用微分中值定理，有
其中介于
与之间，介于
与
之间.
2． 叙述并证明二元连续函数的局部保号性.
局部保号性：
若函数作在点
内
与【答案】设续，所以存在
从而当当
得在其上
即
3． 设即可.
事实上，由f
是
由
由已知条件，
到
的映射知，
对每一个
当
相应地存在
时
，
是有界点列. 由致密性定理，
使得
记
相应
地
存
显然它是有界闭集.
可知
，
是有界集，所以
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在区域
成立
上可微，且对
有
连续，而且则函数在点
的某一邻域使得对任
意
同号，并存在某个正
数
则存在r , 使取使得当
时
住取
时，有
因为在点处连
由上可知存在使
可见/在是连续映射，若对
上与同号且 均有界. 证明：
欲证，
是闭集.
中的任何有界闭集并设
【答案】任取点列是闭集，只需证明
在收敛子列
再由 4． 设
【答案】设由于
满足
及f 的连续性，令为m 个正数，证明
：
则
可得
注意到
故
因此
二、解答题
5． 求两椭圆
所围公共部分的面积。
解得两曲线在第一象限内的交点坐标为I
共部分的面积为
于是，所围公
【答案】如图所示，这两个椭圆是全等的，故所求面积是阴影部分面积的8倍. 由方程组
图
6． 讨论下列无穷积分的收敛性：
【答案】（1）
由柯西判别法知，由柯西判别法知
由柯西判别法的推论2知
，
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收敛。
收敛。
发散。
由柯西判别法知，
（5）当敛。
当（6）当且仅当当
，
时
. 时，积分
收敛.
对于
收敛。
时.
时，
故此时
对汙
由于
时.
收敛。
故此时
收
发散。 由于
故
故当且仅
综上所述，当且仅当
7． 设为正实数，确定使在的范围（要叙述过程）.
【答案】当当可. 由
时，在事实上，当
时，显然在时，因为
在
收敛. 否则，发散。
不一致连续的A
上一致连续的的范围以及使在
上一致连续.
上一致连续，所以只要证明它在
上不一致连续.
上一致连续即
上有界可知，
在尽管
不一致连续. 当
时，取但是
故在
上不一致连续.
8． 确定下列函数的凸性区间与拐点：
【答案】故y 的凹区间为
凸区间为当
时由
得的拐点为
，
当
当
时
故y 的凹区间为
时，
当
时，
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