当前位置：问答库＞考研试题

一、计算题

1． 讨论下列函数的连续性:

（1）（2）（3）（4）（5）（6）. （7）（8）.

上连续. 事实上, 当

时, 由tanu

在

连续知

故（2）设于是当可见（3）因为

充分小时, 对任意的在

处连续, 可见f 在D 上连续, 又f 在

且

就有

故f 在D 上连续. 从而

所以又在续.

因此,

在

时,

第 2 页，共 39 页

【答案】（1）函数f （x , y ）在集合:

上无定义, 因而在则存在

使从而

上处处间断.

（即x+y=k）上处处不连续.

在点（0, 0）连续.

1的点（x , y ）处, 由于f （x , y ）是初等函数且在这些点处有定义, 故f （x , y ）连

上连续, 又在任意点

处间断,

故仅在D 上连续. （4）因为当

从而

所以

在点（0, 0）处连续

, 又在

故（5

）设

在点

处连续, 因此, 在整个平面R 上连续. 则

2

的点处.

（i ）当冲为有理数时,

（ii ）当x 0为无理数时,

于是所以

（6）在因为

且

故

从而函数

（7）直线以外的任意点

因此f 仅在的.

（8）因为

在其定义域

上连续,

关于u 是连续的, 由复合函数的连续

性知函数在其定义域D 上连续.

2． 求下列幂级数的收敛半径, 并讨论区间端点的收敛性:

【答案】（1）由

, 得R=1, 或由

第 3 页，共 39 页

’

当且仅当y 0=0

时成立.

仅在

的点处, 由于

上连续.

是初等函数且有定义. 故f （x , y）连续. 又

在点（0, 0

）处也连续, 因此f

在R 上连续. 及

上连续, 即在直线

以外的点,

函数

是连续

上的点均为函数

的不连续点, 对于上述直线

2

在端点z=1处, 级数为

. 因为

, 使得

又

, 所以在端点x=1处原级数收敛

.

. 因为

所以在端点x=﹣1处原级数绝对收敛. （2

）

. 在端点x=e处, 级数为

因为

所以级数的一般项不趋于零, 从而在端点x=e处原级数发散

. 同理在端点

x=﹣e 处, 原级数发散.

3． 计算积分

【答案】内层积分积不出来, 不妨换一求积次序. 为此由所给积分限画出积分区域D 的图形（见图）:

在端点x=﹣1处, 级数为

图

于是

4． 应用幂级数性质求下列级数的和:

（1）

第 4 页，共 39 页