2017年复旦大学数学科学学院719分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明：设f 为n 阶可导函数，若方程. 一个实根.
【答案】设方程. 区间
上应用罗尔中值定理知，
存在
即
至少有n 个相异实根. 再对
使得
至少有n-2个相异实根上有一阶连续导数，且
证明：
【答案】
有
对其取极限可得
由已知条件有
在n-1个区间
即.
至少有一个实根.
若
理知，存在续下去可得
2． 设在
使得
.
上应用罗尔中值定
至少有n-1个相异实根. 如此继
的n+1个相异的实根为
并且
对f (x ) 在
有n+1个相异的实根，则方程
至少有
二、解答题
3． 设
存在
，
则
即
【答案】由令
对x 求导，有
4． 设
其中A ，a ，b 为常数，试问A ，a , b 为何值时，【答案】.
故要使
又
要使有导数存在，必须b=0.
处可导? 为什么？并求
存在，必须A=0.
综上可知，当A=b=0为任意常数时，f （x ）在z=0处可导，且
5． 计算下列第二型曲面积分：
(1) (2
)
(3) (4
)
和球面
(5
)
取外侧； 其中是抛物面其中为锥面
的外侧； 其
中
是闭曲
面
方向取上侧； 其
中
为锥
面
所围立体表面的外侧，f (u ) 具有连续导数； 其
中
是三维空间中xy 平面上的曲线
段
绕y 轴旋转而成的曲面，方向取右侧；
(6
)
其中
是平行六面体
的表面并取
外侧，f (x ) , g (y ) ，h (z ) 为上的连续函数；
(7)
【答案】(1)
补充平面式得
其中为椭球
的表面，取外侧.
取其上侧，
设与
围成的区域为
则由高斯公
而
所以
(2) 闭曲面是由八个平面由高斯公式得
令
则
区域在此变换下变为区域由对称性知，原式
(3) 用
表示以原点为中心、记
为平面z=0上满足成的区域，则由高斯公式得
而
取
为平面
取下侧，则由高斯公式得
故原式
为半径的上半球面，取上侧，取充分小，使
的部分，取下侧，表示曲面
在的内部.
围
组成，其围成的立体为
取外侧，
(4) 由高斯公式得 原式