当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 证明：若

【答案】由于得当n>N时

即且

则因此，当

存在正整数N ，使

时，有

又因为

2． 设函数

在

由迫敛性上非负连续，

在

上连续单调增加，则

【答案】用重积分来证明. 考察差

交换积分变量x 与y 的位置，仍然有

于是有

从而原不等式成立.

根据数列极限的保号性知，对任意的

二、解答题

3． 求下列不定积分：

【答案】

4． 设某流体的流速为

【答案】设流量为E , 则

(其中

5． 设

利用球坐标变换计算)

(这个函数在

时不连续) ，试证由含参量积分

所确定的函数在【答案】由于当

时，

所以

它在

上连续，

的图像见图

上连续，并作函数.

因此当

时

的图像.

求单位时间内从球面

的内部流过球面的流量.

图

6． 已知

级数

发散，求证级数知，级数

也发散.

均为正项级数.

【答案】反证法由

假设级数收敛，则于是有

从而由正项级数的比较判别法知级数

7． 求下列函数的幂级数展开式：

收敛，这与题设矛盾，所以原命题成立.

【答案】⑴因

故

(2) 故

⑶

故

8． 用积分判别法讨论下列级数的敛散性：

⑴(3)

【答案】(1) 设级数

(2) 设

所以积分(3) 设

收敛.

则

发散，从而级数则

(2)

(4)

则f (x ) 在

上非负递减，又积分

—收敛，从而

故f (x ) 在

发散.

上非负递减，而