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一、证明题

1． 设

在

上连续，且有惟一最小值点

则

于是

这与最小值点的惟一性矛盾.

2． 设函数f 在点a 处具有连续的二阶导数. 证明：

【答案】两次应用洛必达法则得

3． 证明：若T' 是T 增加若干个分点后所得的分割，则

【答案】设T 增加p 个分点得到到

所以我们只需证但T 的其他小区间

的情形。

与的各

两项. 又因函数在

即

就有

这里

4． 设函数

在

上连续且恒大于零，按

定义，证明:

在[a, b]上连续.

f (x ) 在[a, b]上有最小值

【答案】因

为

在[a, b]上连续，所以

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若.

中可选取子列

满足

由于这个

显然

【答案】假设

且

在

子列有界，由致密性定理，可从它中再选取一个收敛子列，

仍记为

将p 个新分点同时添加到T ，和逐个添加到T , 都同样得

在T 上添加一个新分点，它必落在T 的某一小区间内，而且将分为两个小区间，记作

仍旧是新分割

所属的小区间，因此，比较一项换为后者中的

故

个被加项，它们之间的差别仅仅是前者中的

子区间上的振幅总是小于其在区间上的振幅，即有

一般的，对t 增加一个分点得到

故

当时，有

在点当即可.

综上可知，

(

或

处连续.

) 时，

只需将上面

在[a, b]上连续.

改为

(

或

)

二、解答题

5． 计算二重积分

其中是双纽线【答案】令

则双纽线方程为

围成的区域.

(如图) :

图

由于区域和被积函数关于x 轴对称，故

6． 导出曲边梯形

【答案】区间

绕y 轴旋转所得立体的体积公式为

所对应的柱壳体积

由微元法可知所求体积为

7． 设球体

上各点的密度等于该点到坐标原点的距离，求这球体的质量.

【答案】根据题意所求球体的质量为

应用球坐标变换

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于是

应用

8． 计算

【答案】

在任何不包含原点的区域内均有

因此对任何完全落在L 内部且包含原点的封闭曲线C ，在L 和C 所夹的区域内应用格林公式，有

其中

表示在曲线C 上方向沿顺时针方向.

选取

适当小，使

完全落在L 内，则有

9． 求下列不定积分：

由此可得

其中L 是椭圆

方向沿逆时针方向.

【答案】

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