2017年复旦大学数学科学学院719分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设f 为傅里叶系数，证明
【答案】因为f 为又
故
即
2． 证明：在n 个正数的和为定值条件
下，这n 个正数的乘积术中值
【答案】
令
的最大值为
并由此结果推出n 个正数的几何中值不大于算
上的光滑函数，所以f (x ) 在
上有连续的导函数
上的光滑函数，且
为f 的傅里叶级数
为f 的导函数的
解得所以
由题意知，最大值在惟一稳定点取得.
故
*
因此
二、解答题
3． 设试研究在x=0点的连续性.
【答案】
在x=0处不连续.
4． 将函数
在
上展开成余弦级数.
所以由收敛定理可得在
5． 设
上
在平面上二次连续可微
，
的偏导数表示
【答案】将f (x ) 作周期性偶延拓，得一周期为的连续偶函数
.
(1) 用u 关于(2) 用u 关于【答案】 (1
) (2
)
的一、二阶偏导数表示
6． 求由下列方程所确定的隐函数的偏导数：
求z 对于
的一阶与二阶偏导数；
，求
【答案】⑴令
则
故
故
(2) 把z 看成x ，y 的函数，两边对x 求偏导数，得
原方程两边关于y 求偏导数，得故
7． 求下列不定积分：
【答案】⑴令
则
（2）令
于是
令令
则
则
所以原式：
所以
则取