2017年赣南师范学院数学计算机科学学院623数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 利用柯西收敛准则证明下列数列收敛：
(1)
(2) 【答案】
由于(不妨设
其中
)
而
即数列
(2) 对
所以存在正整
数
收敛.
)
取
2． 设为
【答案】
设中值定理，存在
使得
3． 设函数f 在
上满足方程
且
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且
当时
有于是
当时
有
由于(不妨设
则当
时有所以数列收敛.
上的单调递减函数，证明：对任何正整数n 恒有
则由题设知
，
在
上为非负、递减函数. 由积分第二
证明,
【答案】设由于是
得
令
则，由归结原则得
同理，由也可推出
因此，
二、解答题
4． 求下列极限：
【答案】（1）极限
所以，
（2）当（3）由于
时
，
所以
：不妨设
则
所以
（4）
（5）
（6）因为
所以
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由f （X ）在其有定义的邻域内的值来决定. 而当时
，
（7）设所以
是一个正整数，则
所以
5． 求极限
【答案】记
则
即
而
故
6． 在曲线
上取一点P , 过P 的切线与该曲线交于Q ，证明：曲线在Q 处的切线斜率正好是
上点P 坐标为
即曲线
由由方程组
在Q
点的切线斜率
得该曲线过点P 的切线斜率
解出切线与曲线的
因此
在P 处切线斜率的四倍.
【答案】设曲线切线方程为
交点为
7． 求极限
其中 f (x ) 在[0, 1]上连续，f (0) =0, f (0) =1. 【答案】作变
换
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即曲线在Q 处的切线斜率正好是在P 处切线斜率的四倍.
则变为