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一、证明题

1． 设

是凸域，

且满足

证明：f (x ) 的海色矩阵【答案】由泰勒公式得：

根据条件

故有

上式消去并令这表明矩阵 2． 设数列数列

与

即得

是半正定的. 由于任意性，所以海森矩阵在上是半正定的.

证明：:

所以

是单调有界数列，故

收敛. 由柯西

由柯西收敛准则知，

3． 已知平面区域

(1) (2)

【答案】(1) 方法一由于

所以欲证的等式成立.

是半正定的.

为任一向量，当t 充分小时，点，

满足：存在正数M , 对一切n 有都收敛.

又

存在正整数N , 当

时，有

【答案】因为收敛准则知，对任意的

于是

收敛.

L 为D 的正向边界. 试证：

方法二由格林公式，有

因为D 关于直线y=x对称，所以左边=右边. (2) 方法一由(1) ，利用平均值不等式得

方法二由(1) 得

4． 设f 为

(1)

(2)

上的连续函数，证明： 在在

上收敛；

上一致收敛的充要条件是

上连续，故f 在

即

在

上收敛，且收敛于

(2) 必要性

函数

因为

当

在

上连续，从而

分成两部分讨论.

又因

故时，

充分性 可考虑将

上连续及

在

上有界，设

【答案】(1) 因f 在所以

上一致收敛，可得其极限

处连续，故对任意

存在

当时，有

故对上述

的

当

存在N ,

当时，任意的

时，对一

切有

故

总

有所以

，

上一致收敛.

二、解答题

5． 求下列复合函数的偏导数或导数：

⑴设

(2)

设(3)

设⑷设(5)

设(6)

设【答案】(1) 令

则

(5) 由于

所以

6． 取y 为因变量，解方程

【答案】由上题启发，z=z(x ，y ) 中把x ，y 看成自变量，对x 求偏导数，得

解出

再对x 求偏导，得

将

代入上式，有