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一、填空题

1． 设曲线C 为圆

【答案】【解析】

（奇偶性，对称性）

，则线积分

_____。

2． 设常数k>0, 函数

【答案】当当又

故曲线的个数为2。

3． 设曲线

【答案】-2 【解析】由条件可知

，故

和

在点（0, 1）处有公共的切线，则

=_____。

时, 时,

与x 轴有两个交点, 因此函数

在

内的零点

, 令, 故函数

在

内零点的个数为_____。 , 得驻点x=e 在（0, e]上单调增加;

上单调减少。

,

, 故函数f （x ）在

从而x=e为函数f （x ）的极大值点。由于驻点惟一, 极大值也是最大值且最大值

4． 过直线

且平行于曲线【答案】

【解析】由题意设所求平面为

在点

处的切线的平面方程为_____。

即

在曲线的两边对X 求导数得。

将点故曲线在即解得

代入，解得，

。 。

处的切线的方向向量为

由题意知，所求平面的法向量与切线的方向向量垂直，

，故所求平面方程为。

5． 已知三向量a , b , c , 其中c ⊥a ，c ⊥b

,

_____。

【答案】【解析】由于又

故

即

，

且

则

则

6． 设f （x ）是周期为2的周期函数，

且

则n=1时，a n =_____。

【答案】

【解析】若f （x ）以2为周期，按公式

取

，得

，f （x

）的傅里叶级数为

二、计算题

7． 讨论函数

【答案】因为

故f （x ）在x=0处连续。

不存在，故f （x ）在x=0处不可导。

8． 试举出具有以下性质的函数f （x ）的例子：

是f （x ）的所有间断点，且它们都是无穷间断点。

【答案】设

，显然f （x ）具有所要求的性质。 ，在x=0处的连续性和可导性。

9． 设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为x ，于是分布在区间[0，x]上细棒的质量m 是x 的函数m=m（x ）。应怎样确定细棒在点x 0处的线密度（对于均匀细棒来说，单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度）?

【答案】在区间[x0，x 0+△x]上的平均线密度为