2017年河北省培养单位遗传与发育生物学研究所603高等数学(丙)之高等数学考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 利用格林公式，计算下列曲线积分：
（1
）
的三角形正向边界； （2
）
（3）由点（0, 0）到
（4）的一段弧。
【答案】（1）设D 为L 所围的三角形闭区域，则由格林公式，
（2）由于
故由格林公式得（3）由于
在xOy 面内具有一阶连续偏导数，且
故所给曲线积分与路径无关，于是将原积分路径L 改变为折线路径ORN ，其中O 为为
，N 为
，得
（图）
R
的一段弧；
其中L 是在圆周
由点（0, 0）到点（1, 1）其中L 为在抛物线
上
其中L 为正向星形
线
其中L
为三顶点分别为
和
图
（4）由
于
在xOy 面内具有一阶连续偏导数，
且
，故所给曲线积分与路径无关。于是将原积分路径L 改为折线路径ORN ，其中O
，R 为（1, 0），N 为（1, 1），得
为（0, 0）（图）
图
2． 验证函
数
并利用此结果求幂级数
【答案】（1）因为
以上三式相加得
所以函数y （x ）满足微分方程（2）
对应的齐次方程
的特征方程为
的和函数。
满足微分方
程
根为因此齐次方程的通解为
设非齐次微分方程的特解为
且非齐次微分方程的通解为
代入方程
得
于是
由（1）知，幂级数的和函数y （x ）满足：
解得
于是由微分方程初值问题解的唯一性，可得所求幂级数的和函数为
3． 计算曲线积分
，其中C 是由四条直线
围成的
由此定出上式中的C 1与C 2,
令
正方形的边界。
【答案】设这四条直线所围成的区域是正方形区域
记则
显然，它们在闭正方形区域D 上都连续。由格林公式得
4． 利用柱面坐标计算下列三重积分：
（1）（2）
【答案】（1）由
，其中
是由曲面，其中
是由曲面和
及
及平面
消去Z ，得
所围成的闭区域； 所围成的闭区域。
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