2017年华东理工大学理学院817高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 画出积分区域，把积分
(1)(2)(3)
【答案】（1）如图2所示，在极坐标系中，有
故
表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D 是：
图1 图2
（2）如图3所示，在极坐标系中，
，故
（3）D 如图4所示，在坐标系中，
直线
。于是
的方程为，
故
图3 图4
2． 计算曲线
上相应于1≤x ≤3的一段弧（如图）的长度。
图
【答案】
3． 设在xOy 面内有一分布着质量的曲线弧L ，在点（x ，y ）处它的线密度为（x ，y ）. 用对弧长的曲线积分分别表达:
（1）这曲线弧对x 轴、对y 轴的转动惯量I x ，I y ； （2）这曲线弧的质心坐标
。
，【答案】（l ）设想将L 分成n 个小弧段，取出其中任意一段记作ds （其长度也记作ds ）（x ，y ）为ds 上一点，则ds 对x 轴和对y 轴的转动惯量近似等于
以此作为转动惯量元素并积分，即得L 对x 轴、对y 轴的转动惯量
（2）ds 对x 轴和对y 轴的静矩近似等于
以此作为静矩元素并积分，即得L 对x 轴、对y 轴的静矩
从而L 的质心坐标为
4． 说明下列旋转曲面是怎样形成的：
【答案】
的旋转曲面，或表示xOz 面上的椭圆
表示xOy 面上的双曲线
面，或表示yOz 面上的双曲线
表示xOy 面上的椭圆
绕x 轴旋转一周而生成
绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲面
.
绕y 轴旋转一周而生成的旋转曲
绕y 轴旋转一周而生成的旋转曲面
.
绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲
表示xOy 面上双曲线
面，或表示xOz 面上双曲线
绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲面
表示xOz 面上直线z=x+a或z=﹣x+a绕z 轴旋转一周而生成的旋
转曲面，或表示yOz 面上的直线z=y+a或z=﹣y+a绕z 轴旋转一周而生成的旋转曲面.
5． 画出积分区域，并计算下列二重积分:
（1）（2）
，其中D 是由两条抛物线，, 其中D 是由圆周
所围成的闭区域;
及y 轴所围成的右半闭区域;