2018年北京林业大学水土保持学院725数学(自)之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设随机向量
【答案】记标准化变量为
因为考虑到
故
所以
的协方差阵的行列式为
再由协方差阵的非负定性，可得
移项即得结论. 2． 设
是来自
的样本，
是来自
的样本，两总体独立.c ，
间的相关系数分别为
证明:
d 是任意两个不为0的常数，证明
其中
【答案】由条件有
且
相互独立，故
于是
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与分别是两个样本方差.
3． 设
是来自两参数指数分布
是充分统计量.
的样本，证明
【答案】由已知，样本联合密度函数为
令
由因子分解定理，
4． 设X 为非负随机变量，a>0.
若
【答案】因为当a>0时
，
5． 设
是来自
存在，证明:对任意的x>0,
有
是非负不减函数，所以由上题即可得结论.
的样本，证明
为
没有无偏估计.
的无偏估计，则
由上式可知，等式的左边关于处处可导，而等式的右边在因此，假不成立，即
6． （伯恩斯坦大数定律）设有
【答案】记有
所以
由的任意性知
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的充分统计量•
【答案】（反证法）假设
处不存在导数.
没有无偏估计.
是方差一致有界的随机变量序列，且当服从大数定律.
任对
存在
当
时， 时，一致地
证明:
所以由马尔可夫大数定律知
7． 设
为来自
服从大数定律.
未知.
）.
的i.i.d 样本，其中，样本的联合密度函数为
证明关于假设【答案】记
的单侧t 检验是似然比检验（显著水平
两个参数空间分别为
利用微分法，在下而在
下
的MLE 为
分别为
的MLE.
于是似然比统计量为
在此时
为
时
，由于
，故只需考虑
的情形，
的单调增函数，故此时的似然比统计量是传统的t 统计量的增函数，
即此时的似然比检验等价于单侧的t 检验，拒绝域由t 检验的结论知， 8． 设
是来自正态分布
的样本，证明，在给定
下
是充分统计量.
，这就完成了证明.
【答案】由条件，的条件密度函数为
它与无关，从而
是充分统计量.
二、计算题
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