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一、证明题

1． 设是来自泊松分布的样本，证明:当样本量n 较大时，的近似置信区间

为

【答案】由中心极限定理知，当样本量n 较大时，样本

均

，，

此可作为枢轴量，对给定

利用标准正态分布的

分位数可得

括号里的事件等价于

. 因而得

其左侧的二次多项式二次项系数为正，故二次曲线开口向上，而其判别式

故此二次曲线与A 轴有两个交点，记为和，

则有，

其中

和

可表示为

这就证明了的近似

置信区间为

事实上，上述近似区间是在n 比较大时使用的，此时有

于是，的近似置信区间可进一步简化为

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因而

2． 设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明:

【答案】

将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得

第二个积分亦可改写为二次积分，然后改变积分次序，可得

这两个积分之和恰好是所要求证明的等式.

3． 设

即它不是有效估计.

【答案】设

是0的任一无偏估计，则

»

即

将

式两端对求导，并注意到

，有

这说明我们将

，即

.

式的两端再对求导，得

由此可以得到，记

则

9

从而，

为

的UMVUE.

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，求的UMVUE. 证明此UMVUE 达不到C-R 不等式的下界，

.

进一步， 4． 设和方差,

（2）当

【答案】 （1）由由于X 的概率密度为

，C-R 下界为.

故此UMVUE 的方差达不到C-R 不等式的下界.

是来自总体x 的简单随机样本,

, 证明:

相互独立知,

也相互独立,

所以

时,

分别为样本的均值

（1）当X 服从数学期望为0的指数分布时,

所以

由此证得（2）由

由于

, 所以

知从而将①, ②代入

可得

① ②

与

相互独立知,

与

也相互独立, 从而

①此外, 由

从而得到目的最大似然估计量为

5．

设明:

为独立同分布的随机变量序列，方差存在.

又设服从大数定律. 【答案】不妨设

否则令

并讨论

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为绝对收敛级数.

令即可.

证