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一、计算题

1． 设

是来自均匀分布

的样本, 试给出一个充分统计量.

【答案】总体的密度函数为

于是样本的联合密度函数为

即

令

, 并取

由因子分解定理,

为参数（

）的充分统计最.

2． 在区间（0, 1）中随机地取两个数，求事件“两数之和小于7/5”的概率.

【答案】这个概率可用几何方法确定，在区间（0, 1）中随机地取两个数分别记为x 和y , 则y ）（x ，的可能取值形成如下单位正方形

其区域为图中的阴影部分

.

其面积为

而事件A“两数之和小于7/5”

可表示为

图

所以由几何方法得

3． 设

为来自b （1，p ）的样本，试求假设

利用微分法，在上p 的MLE 为

的似然比检验. 两个参数空间分别为则似然比统计量为

【答案】样本的联合概率函数为

通过稍显复杂的求导可知，当时，为的严增函数，而当 时，

关于的

为的严减函数（对此性质，也可以画出

，从而拒绝域

图形看出）

这说明此时的似然比检验与传统的关于比率p 的检验是等价的，其中临界值水平确定.

4． 设有容量为n 的样本A , 它的样本均值为mA. 现对样本中每一个观测值施行如下变换差、极差和中位数.

【答案】不妨设样本A 为

样本B 为

, 且

因而

由显著性

, 样本标准差为^, 样本极差为RA , 样本中位数为

如此得到样本B , 试写出样本B 的均值、标准

5． 已知某种材料的抗压强度下：

（1）求平均抗压强度的置信水平为95%的置信区间； （2）若已知

求平均抗压强度的置信水平为95%的置信区间；

，现随机地抽取10个试件进行抗压试验，测得数据如

（3）求的置信水平为95%的置信区间. 【答案】（1）经计算得，查表得，

因而的置信水平为95%的置信区间为

（2）在查表得，（3）此处，

因而

已知时，的置信水平为95%的置信区间为

，因而的置信水平为95%的置信区间为

取

，查表得

，

由此可以得到的置信水平为95%的置信区间为[24.2239，64.1378].

6． 100件产品中有50件一等品、30件二等品、20件三等品. 从中任取5件，以X 、Y 分别表示取出的5件中一等品、二等品的件数，在以下情况下求（X ，Y ）的联合分布列.

（1）不放回抽取；（2）有放回抽取.

j 件二等品，【答案】（1）这是一个三维超几何分布，若取出的5件中有i 件一等品、则有5—i 一j 件三等品，所以当

时，有

用表格形式表示如下：

表

1

的置信水平为95%的置信区间为

s=35.2176在未知时，的置信水平为95%的置信区间为

行和就是X 的分布h （5，100，50）（超几何分布）.

列和就是Y 的分布h （5，100，30）（超几何分布）

.

j 件二等品，（2）这是一个三项分布，若取出的5件中有i 件一等品、则有5—i —j 件三等品，