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一、证明题

1． 投掷一枚骰子，问需要投掷多少次，才能保证至少有一次出现点数为6的概率大于1/2?

【答案】设共投掷n 次，记事件则

由

得

两边取对数解得

所以取n=4，即投掷4次可以保证至少一次出现点

为“第i 次投掷时出现点数为6”，i=l，2. …n.

数为6的概率大于1/2.

2． 设总体概率函数是p （x ; 0）, g （θ）的任一估计

令

们只需要考虑基于充分统计量的估计.

【答案】我们将均方误差作如下分解

是其样本，

，证明：

是θ的充分统计量，则对

这说明，在均方误差准则下，人

注意到

这说明

于是

因而

3． 设数为

是来自均匀分布

其中

（2）求的贝叶斯估计. 【答案】（1）同时成立，必须

与

的联合分布为

所以的后验分布为

要使

与

的样本，的先验分布是帕雷托（Pareto ）分布，其密度函是两个己知的常数.

（1）验证：帕雷托分布是的共轭先验分布；

这是一个参数为

与

的帕雷托分布，因此帕雷托分布是的共轭先验分布.

（2）若选用后验期望估计，则

4． 设g （x ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且E （g （X ））存在，证明：对任意的

有

【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则

5． 设0

【答案】由条件

得

试证：A 与B 独立.

再由上题即得结论.

6 设随机变量X 与Y 独立同分布, 且都服从标准正态分布N , 试证明:（0, 1）．相互独立.

【答案】设

则

所以

•由此得

和V=X/Y的联合密度为

所以

7． 若

【答案】由

可分离变量, 即U 与V 相互独立.

试证

：

得

所以得

即

所以

即

由此得

即

8． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式

（1）（2）（3）

【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.

（1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率.

因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N-m+1次必取到白球，若记

为第k 次取到白球的概率，则有

且

即

对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回. 试求迟早取到白球的概率.

（3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，则不仅放回，且追加一个白球进去. 试求迟早取到白球的概率.