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一、证明题

1． 设

是来自

的样本,

为其次序统计量, 令

证明【答案】令作变换

其中

函数为

该联合密度函数为可分离变量, 因

而

2． 证明公式

其中

相互独立,

且

其雅可比行列式绝对值为

, 联合密度

相互独立.

则

的联合密度函数为

【答案】为证明此公式, 可以对积分部分施行分部积分法, 更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导, 证明其导函数相等.

注意到将等式右边的求导可给出_

而对

k=0.

对

其和前后项之间正好相互抵消, 最后仅留下一项,

也为明了两者导函数相等, 并注意到两者在p=l时都为0, 等式得证.

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这就证

3． 设正态总体的方差

为已知值，均值只能取或两值之一，为总体的容量n 的

则检验犯第二类错误的概率

为

样本均值. 考虑如下柃验问题

若检验拒绝域取

为

（1）试验证：（3）当

【答案】（1）由于

从而在并且要求

给定时，有

（2）若n 固定，当减小时怎样变化？当减小时怎样变化？

时，样本容量n 至少应为多少？

故检验犯第二类错误的概率为

这给出

也即

从而在

（2）若n 固定，当减小时，而导致增大.

同理可知：当减小时增大.

这说明，在样本量给定时，犯二类错误的概率一个变小另一个就会变大，不可能找到一个使得犯两类错误的概率都变小的检验方案.

（3）由

查表可得

于是

将

代入，有

即n 至少应为468.

4． 设随机变量X 有密度函数p （x ）, 且密度函数p （x ）是偶函数, 假定Y=

不相关但不独立. 【答案】因为

与Y 不相互独立, 特给定a>0, 使得

所以X 与

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给定时，有

就变大，由为常量可知就变小，从

证明:X 与不相关. 为证明X

所以这表明:X 与

现考查如下特定事件的概率

不独立.

5． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明：

【答案】由于其中

代回原式即得证.

6． 试证：概率为零的事件与任何事件都是独立的.

【答案】设P （A ）=0，则任对事件B 有

所以由概率的单调性知P （AB ）=0，从而得

P （AB ）=P（A ）P （B ），所以A 与B 独立.

7． （格涅坚科大数定律）设是随机变量序列, 若记

则

服从大数定律的充要条件是

【答案】先证充分性. 任对

注意到t>0时.

是增函数, 故当

因此有

所以当再证必要性.

设有

因为函数

时, 有

服从大数定律,

即

是增函数及

故则任对

服从大数定律.

存在N ,

当, 得

由于的任意性, 所以

时, 时, 有

存在，所以级数

绝对收敛，从而有

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