2017年北京工商大学理学院806概率论与数理统计之概率论与数理统计教程考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量序列证:
【答案】这时
仍为独立同分布, 且
由辛钦大数定律知结论成立.
,
样本方差分别为
独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且
试
2． 从同一总体中抽取两个容量分别为mm 的样本, 样本均值分别为
, 将两组样本合并, 其均值、方差分别为
【答案】设取自同一总体的两个样本为由
得
证明:
由
得
3． 若
【答案】因为
证明
：
所以得P （AB ）=P（B ）. 由此得
结论得证.
4． 在回归分析计算中，常对数据进行变换：
其中
平方和之间的关系；
（2）证明：由原始数据和变换后数据得到的F 检验统计量的值保持不变. 【答案】（1）经变换后，各平方和的表达式如下：
所以由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计间的关系为
在实际应用中，人们往往先由变换后的数据求出
然后再据此给出
总平方和、回归平方和以及残差平方和分别为
（2）由（1）的结果我们知道
数据得到的F 检验统计量的值保持不变.
5． 设为来自指数分布的样本，样本独立，其中
（1）求假设
是未知的正参数.
的似然比检验；
是适当选取的常数.
（1）试建立由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计、总平方和、回归平方和以及残差
它们的关系为
即说明了由原始数据和变换后
为来自指数分布的样本，且两组
（2）证明上述检验法的拒绝域仅依赖于比值（3）求统计量
在原假设成立下的分布.
【答案】样本的联合密度函数为
参数空间分别为
下参数的最大似然估计
为
则似然比统计量为
而
在
由微分法容易求出在
下参数的最大似然估计
为
由求导可知，函数为
或者
这就证明了（2）的结论.
为先减后増的单峰函数，故此似然比检验拒绝域可等价写
注意到指数分布、伽玛分布与卡方分布间的关系，可得
再注意到
诸
6． 设
与
诸
相互独立, 服从
证明:
【答案】令
, 则
再令
, 则
令
相互独立, 且
服从
间的独立性，在原假
设
成立下，有如下抽样分布
：
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