2018年南京财经大学应用数学学院615数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1．
设
在
上可微,
且对于任何
有
求证:对任何正整数n ,
有
其中M 是一个与x 无关的常数.
【答案】由定积分的性质及积分中值定理有
其中
又因为
在
上可微, 所以由微分中值定理可知, 存在
使得
因此
2． 证明数集
【答案】令数集两个聚点.
对任意
由或者有 3． 已知
求证
时,
则要证的不等式等价于
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有且只有两个聚点
,
数列, 数列
且
,
令, 则当.
总之
和
, 则
都是各项互异的数列, 根据定义2, 1和-1是S 的
.
时, 或者有
.
有且只有1和-1两个聚点.
,
得,
取
由定义知不是S 的聚点, 故数集
【答案】当
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令
则
而
故
从而有
4． 证明曲线积分的估计式
:利用上述不等式估计积分
【答案】因为
这里又
为曲线AB 上任一点的切向量的方向余弦; 有
圆的参数方程为
, 而
从而
, 故由迫敛性知
•
, 于是
, 其中L 为AB
的弧长
, 并证明
.
,
并
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5． 设由行列式表示的函数
其中
的导数都存在，证明
【答案】记
由行列式定义知f 为元的可微函数且
于是由复合函数求导数法则知
记①右边行列式中的代数余子式为
，则
从而，
代入②，得
其中
是将元素
去掉后得的n －1阶行列式，它恰为行列式
中的代数余子式，于是由③知
6． 证明下列函数在指定区间上的单调性:
（1）
上严格递增;
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①
②
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