2018年闽南师范大学粒计算重点实验室614数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设a , b , c 为实数. 求证:方程有四个不同的零点
两个不同的零点;
函数
的根不超过三个.
, 那么函数
必有三个不同的零点; 函数
有
无零点, 这便产生矛盾. 这矛盾说明反
应用罗尔定理可知函数有一个零点. 然而已知函数
【答案】用反证法. 假设方程有四个不同的根
证法假设不成立, 即方程至多只有三个根.
2． 证明:若, S 为包围区域V 的曲面的外侧, 则
（1）（2）
【答案】（1）
（2）由（1）的运算可得
3． 设
【答案】
同理，
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，c 为常数
，，证明:
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所以
4． 设（f x ）满足
则f 在在
上恒等于0.
上连续.
由最小最大值定理知, f （
x ）
现再由为最
上的最大值为M , 最小值为m , 并且
由费马定理知
为f （x
）的一个严格极小值. 这与
上连续, 则存在点
,
其中
为L 的弧长.
存在, 且
又因f 在L 上连续, L 为光滑曲线, 所以定理知:
-使
令
6． 设f 在[a, b]上连续,
【答案】因为
所以
从而
, 显然
, 所以. 证明
与
在
上连续
, 由积分中值
【答案】由于f 在光滑曲线
L 上连续
,
从而曲线积分
使得
, 其中g （x ）为任一函数. 证明:
若
,
【答案】反证法. 因f （x ）存在二阶导数, 故f （
x ）
在
上存在最大值和最小值. 设
f （x
）在
, 因
得
大值矛盾, 故M=0.同理可证m=0.所以在
5． 证明
:若函数, 在光滑曲线L :
, 故
证M=m=0.假设
. 于是
于是上
二、解答题
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7． 己知为三维空间中的有界区域, 的边界为分段光滑的曲面,
于是有
为外法向量, u （x , y , z ）在
上连续可偏导. 求证
:【答案】不妨设
8． 计算下列二重积分:
（1）（2）（3）（4）
, 其中
原积分=
, 其中D 由抛物线
, 其中
, 其中D 为图1中阴影部分;
.
与直线
所围成的区域;
【答案】（1）D 如图1,
图1
（2）原积分=（3）D 如图2,
图2
（4）D 如图3,
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