2018年南通大学理学院802高等代数之常微分方程考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 验证下列各函数是相应微分方程的解：
⑴（2
）（3
）（4
）（5
）（6
）（7
）（8
）【答案】
⑴
!
因此
，
（2
）
是方程的解.
因此
，
（3
）因此
，
（4
）因此
，
（5
）
是方程是方程
是方程的解.
的解.
的解.
因此
，
（6
）
是方程I 的解.
并且所以
，（7
）
-
是方程
的解.
因此
（8
）
是方程•的解.
而且
因此
，
是方程•的解.
2．
设
是微分方程在区间[a, b]上的解，试证明对于任意常数c
，
也是这个微分方程的解，并确定它的定义区间.
【答案】
因为
且因为
所以
即
定义于
也是方程
的解，
又由于
定义于
所以
3．
求下列微分方程组的分支值，并判断其奇点的性态.
和
始终是系
【答案】令方程组右端函数等于零，求得不管A
取何值时奇点总为
方程组（系统）的右端函数的雅可比矩阵为
统的鞍点.
当
时
，
是系统的中心
；是系统的稳定的焦点
；
是系统的不稳定的结点. 因此
，
4．
给定方程条件
【答案】
设满足初始条件
当然也有成立.
由于
即再证明若不然，
由
或者
由始条件
另外因为
的连续性得这就证明了
与
.
知
，
满足初始条件
矛盾.
也不可能成立.
则当
’矛盾.
是一个处处为正的偶函数.
时
，
则
必存在
使得
而当
时
，
在
是奇函数或偶函数，
所以可得
证明，
当
在
的解为
和
无论为何值时
，是系统的稳定的结点
；
是系统的不稳定的焦点
；是系统的分支值.
是奇函数或偶函数时，满足初始
则
的解是一个处处为正的偶函数.
也是方程的解，
且容易验证它也满足初始条件
即
为偶函数.
根据解的存
在惟一性定理得
则可得
与
>满足初
再由
5． 求微分方程满足初值条件的特解
：
【答案】
令
方程化为.
有
积分得