2018年辽宁科技大学理学院801线性代数与常微分方程之常微分方程考研核心题库
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2018年辽宁科技大学理学院801线性代数与常微分方程之常微分方程考研核心题库（五）..65
一、计算题
1． 证明下列方程（组）存在惟一的稳定极限环：
（1
）
（2
）
【答案】（1
）原方程组等价于线性微分方程
为正常数，n , m 为正整数）.
这里
容易验证，它们满足定理10的条件，所以原方程组存在惟一的稳定极限环.
（2
）由
知
容易验证，它们均满足定理10的条件，所以原方程存在惟一的稳定极限环.
2．
方程组
能否由线性近似方程决定其稳定性问题? 试寻求李雅普诺夫函数以解决这方程组的零解的稳定性问题，同时变动高次项使新方程的零解为不稳定的.
【答案】由于对应线性近似方程的特征方程的两个特征值均为零，所以原方程组的稳定性不能由线性近似方程决定.
取
则
所以给定方程组的零解是渐近稳定的.
3．
试证方程
有仅与x 有关的积分因子的充要条件是
仅是x 的函数.
【答案】
函数
即为从M （x , y ）dx+N（x , y ）dy=0
的积分因子的充要条件是
若存在只与x
有关的积分因子
则
上式变为
或
由此可知Mdx+Ndy=0仅与x
有关的积分因子的充要条件是
仅是x 的函数.
4． 试详细讨论教材中两种群模型（6.52）中的被捕食-捕食模型的各种情形.
【答案】这里仅考虑r>0的情况. 不妨设x 为食饵，y 为捕食者，若下面系统表示为捕食者一食饵系统，则有下面集中情况：
（1）当r>0, s>0时，表示捕食者y 可以依赖系统以外的食物为生：
①b>0, c<0, a>0, d>0, x , y 均有密度制约；
②b>0, c<0, a=0, d>0, y 有密度制约；
③b>0, c<0, a>0, d=0, x 有密度制约；
④b>0, c<0, a=0, d=0, x , y 均无密度制约•
（2）当r>0, s<0时, 表示捕食者y 不能完全依赖系统以外的食物为生：
①b>0, c>0, a>0, d<0, x , y 均有密度制约；
②b>0, c>0, a=0, d<0, y 有密度制约；
③b>0, c>0, a>0, d=0, x 有密度制约；
④b>0, c>0, a=0, d=0, x , y 均无密度制约。
5． 解下列方程，并求奇解（如果存在的话）
：
并画出积分曲线图
；
并画出积分曲线图
；
为常数）
；
【答案】（1
）令并对方程两边关于x
求导得
即
①当
或者
时，
求得为任意常数
又
所以方程的参数解为另外，
当
②当时，
原方程变成
时，求得
•
容易验证而
也是方程的解.
所以方程还有奇解为
（2
）原方程变形为
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