2018年辽宁科技大学理学院801线性代数与常微分方程之常微分方程考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1．
设
式记为
因而有
【答案】
由于是齐次线性微分方程（4.2）的任意n 个解，
所以满足
试证明
是齐次线性微分方程（4.2）的任意n 个解，它们所构成的朗斯基行列
满足一阶线性微分方程
又由行列式求导法则有
对于上式右端的行列式作以下变换；
将第一行的
行的倍，
第二行的倍，…
第
倍都加入第n 行，并利用己经得到的条件（1），
得到
所以
从而有
满足一阶线性微分方程
2．
设
证：是方程
时，
能够选择常数的解，其中k 为常数，
函数
的值，
使得于连续，试（1）
当
（2）
当时，方程的通解可表为
其中
（1）
当为任意常数. 的通解为的解，
代入方程，
则得到决定
【答案】齐次方程
，
设方程的一个特解为时，
利用常数变易法求方程
的方程组
解之，
得
即得到方程的通解为
又由已知
使得
是方程的解，
所以一定能够选择常数的值，
化简上式右端即得
（2）
当时，
原方程变为
而齐次方程
的通解为
利用常数变易法求非齐次方程
代入方程则得到决定
的一个特解，
设方程的一个特解为
的代数方程组
解之，
得
所以原方程的通解为
化简即得
其中为任意常数.
3． 一质量为m 的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数
为）的力作 用在它上面. 此外质点又受到介质的阻力，
这阻力和速度成正比（比例系数为）. 试求此质点的速度与时间的关系.
【答案】根据牛顿第二运动定律，可以写出质点运动满足的方程为
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