2017年武汉大学数学与统计学院873线性代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 求螺旋线
【答案】由曲线的直角坐标方程为
由方程为
由方程为
得
，故该螺旋线在xOz 面上的投影曲线的直角坐标
得
，故该螺旋线在yOz 面上的投影曲线的直角坐标
在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.
得
，故该螺旋线在xOy 面上的投影
2． 从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗（如图所示）。问留下的扇形的中心角取多大时, 做成的漏斗的容积最大?
【答案】如图, 设漏斗的高为h , 顶面的圆半径为r , 则漏斗的容积为故
令当
, 得
时,
, 故V 在
内单调增加; 当
为极大值点, 又驻点惟一, 从而
, 又
时,
, 故V 在
内单调减少。因此
也是最大值点, 即当取时, 做成的漏斗的容积最大。
图
3． 求过点（3，0，﹣1）且与平面3x －7y ＋5z －12=0平行的平面方程.
【答案】所求平面与已知平面3x －7y ＋5z －12=0平行. 因此所求平面的法向量可取为n=（3，，设所求平面为 ﹣7，5）
3x －7y ＋5z ＋D=0 将点（3，0，﹣1）代入上式得D=﹣4. 故所求平面方程为 3x －7y ＋5z －4=0
4． 己知制作一个背包的成本为40元, 如果每一个背包的售出价为x 元,
售出的背包数由
给出, 其中a , b 为正常数。问什么样的售出价格能带来最大利润?
【答案】设利润函数为p （x ）, 则
令由
, 得
知
（元）
为极大值点, 又驻点惟一, 这极大值点就是最大值点, 即售出价格
定在60元时能带来最大利润。
5． 应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值, 并估计误差:
【答案】（1）因为
,
其中介于0, x 之间, 故
误差
介于0与
之间, 即
（2）己知
介于0与
注:利用
, 可得误差
6． 将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体. 问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积为最大?
【答案】设矩形的一边长为x ，则另一边长为p-x ，假设矩形绕长为p-x 的一边旋转，则旋转所成圆柱体的体积为
由
求得驻点为
。
和时，绕
之间, 故
, 因此
由于驻点唯一，由题意又可知这种圆柱体一定有最大值，所以当矩形的边长为短边旋转所得圆柱体体积最大.
7． 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值:
【答案】（1）积分区域D 如图1所示. 在极坐标系中，有
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