2017年武汉大学物理科学与技术学院601高等数学(理学)考研冲刺密押题
● 摘要
一、解答题
1． 已知函数f （x ）满足方程
（1）求表达式f （x ） （2）求曲线的拐点
【答案】（1）特征方程
为
的通解
为可知
（2）曲线方程为
故则
令
号。
当
时
，
可知
知曲
线
2． 若函数
恒满足关系式
就称为k 次齐次函数，
验证k 次齐次函数满足关系式
其中f 存在一阶连续偏导数。 【答案】为简化计算，可令两边同时对t 求导，得
则上式对一切实数t 都成立。令
，得
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及
特征根
为
再
由
齐次微分方
程
得
得
为了说明
是唯一的解，
我们来讨论
可
知
可知
是
在
当
和时的符时
，
的唯一解，同时，由上述讨论可
在x=0左右两边的凹凸性相反，可知（0，0）点是曲
线
唯一的拐点。
，则 ，
。
3． 试求
的经过点M （0, 1）且在此点与直线
相切的积分曲线。
【答案】由于直线
在（0, 1）处的切线斜率为，依题设知，
所求积分曲线是初值问题的解。
由
再积分，
得
4． 如果一公司经营某种产品的边际利润函数为
【答案】
，那么
表示什么？
积分
得
，代入x=0, y=1,
得
代入x=0
,
得
，即
有
于是所求积分曲线的方程为
表示从经营第1000个产品起一直到第2000个产品的利润总量。
5． 有一盛满了水的圆锥形漏斗，高为10cm ，顶角为60°，漏斗下面有面积为0.5cm 2的孔，求水面高度变化的规律及流完所需的时间。
【答案】水从孔口流出的流量Q 是单位时间内流出孔口的水的体积，即又从力学知道，为水面到孔口的高度。于是有
（1）设在时刻t ，水面高度为
。
，其中0.62为流量系数。S 为孔口截面积，g 为重力加速度，h
，即，从图中可见，
，于是在时间间隔[t, t+dt]
内漏斗流出的水的体积，即水体积的改变量
（2
）得微分方程
，
并有初始条件
。由微分方程分离变量，
得
图
两端积分，得
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，代入初始条件：t=0，h=0，得
于是
代入（s ）。
6． 设函数
【答案】由
，其中F 有二阶连续偏导数，求
可得
7． 计算二重积分大整数。
【答案】将正方形区域D
用三条直线
。如图所示。
分成四个区域：
，其中
，
表示不超过
的最
。
，即得
，代入h=0时得流完所需时间t ≈10
即
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