2017年湖南师范大学世界地理之工程数学—线性代数复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 举反例说明下列命题是错误的：
（1）若
（2）若
则
则有
有
但
，但且
但
，其中K
为
矩阵，且A 组线性无关. 证明B 组线性，则有B=AK.（2）
但K 含r 列，
有
即R （K ）=r，k 为列满秩矩阵.
则A=（9或A=五；
（3）若AX=AY, 且【答案】⑴取
⑵取
（3）取有AX=AF，
且
2． 设向量组B
:
线性表示为
无关的充要条件是矩阵K 的秩R （K ）=r.
【答案】方法一、记
于是
必要性：设向量组B 线性无关，知R （B ）=r.又由B=AK，知充分性：设R （K ）=r.要证B 组线性无关. 由于
因此，向量组B 线性无关.
能由向量组A
:
方法二、由（2）式，因R （A ）=S，A 为列满秩矩阵，则知R （_B）=R（K ）。于是B 组线
性无关
3． 用矩阵记号表示二次型：
（1）（2）（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
4． 在秩是r 的矩阵中，有没有等于0的r-1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式？
【答案】在秩是r 的矩阵中等于0的r-1阶子式可能有，也可能没有；等于0的r 阶子式可能有，也可能没有. 例如：
①矩阵②矩阵③矩阵④矩阵
5． 设
（1）证明
，的秩为2, 有等于0的1阶子式（简称1阶零子式，下同）但没有2阶零子式；的秩为2, 没有1阶零子式，也没有2阶零子式；
的秩为2, 有1阶零子式，也有2阶零子式； 的秩为2, 没有1阶零子式，但有2阶零子式.
是A 的n-1重特征值；
是A 的n-1重特征值. 注意到A 为对称阵，故A
与对角阵
=1, 从而R =1, 就是A 的全部特征值. 显然R （A ）（A ）
是A 的n-1重特征值.
的对角元之和为
又由特征值性质：A 的n 个特征
为A 的（惟一的）非零特征值.
（2）求A 的非零特征值及n 个线性无关的特征向量. 【答案】
首先证明
相似，其中
于是只有一个非零对角元，即
其次，求A 的非零特征值，因再求A 的特征向量. ①对应于
解方程.Ax=0.由
值之和为它的n 个对角元之和，从而由上所证知
得n-1个线性无关的特征向量为：
②用两种方法求对应于方法一：
由对称矩阵性质知
的特征向量
的非零解. 而由⑴式
都正交，
即是方程
知
故可取方法二：由有
两边转置得这样
就是A 的n 个线性无关的特征向量
按定义，即知A 有非零特征值且对应特征向量为
6． 在某国，每年有比例为p 的农村居民移居城镇，有比例为q 的城镇居民移居农村. 假设该国总
人数不变，且上述人迁移的规律也不变. 把n
年后农村人和城镇人占总人的比例依次记为
和
（1）求关系式
中的矩阵A ;
求
（2）设目前农村人口与城镇人口相等，【答案】（1）这是一个应用问题. 关系式可看做是向量
的递推关系式，从而有
即把应用问题归结为求A
的
遵循这一思路，先求A. 由题设，有
故
再求A 的特征值和特征向量. 易求得A 的特征值