2018年天津科技大学食品工程与生物技术学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 设线性方程
m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.
作初等行变换，如下
（1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解.
此时原方程组与同解，
解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
故原方程组的通解为
（3
）当
（4
）当
2．
设
即
时
此时方程组无解.
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
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即得到线性方程组
若要使C
存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，
b=0时，线性方程组有解，
即存在矩阵C , 使得AC-CA=B.
此时，
所以方程组的通解为
也就是满足
AC-C4=B的矩阵C
为
其中
3．
已知
为任意常数
.
其中E 是四阶单位矩阵
是四阶矩阵A 的转置矩阵，
求矩阵A
【答案】对
作恒等变形，有即
由故矩阵可逆.
则有
以下对矩阵做初等变换求逆，
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所以有
4．
设n 维
列向量
【答案】记
线性无
关，其中S
是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得，由
线性无关，得
显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而组的基础解系为数.
有无穷多解. 易知特解为
从而②的通解，即①的通解为
对应齐次方程A 为任意常
二、计算题
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