2018年天津科技大学食品工程与生物技术学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
设三维列向量组
（Ⅱ）
当
【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
线性表示.
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
使得
线性无关；
向量组
则
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
不全为0
,
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
线性无关，
列向量组
线性无关.
和向量组
线性表示；
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
时，
求出所有非零列向量
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
于是，方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此，
所有非零列向量
所有非零解
_
t 为任
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2
． 设三阶方阵A 、
B
满足式
的值
.
其中
E 为三阶单位矩阵.
若求行列
【答案】由矩阵知则
. 可
逆.
又故即
所以即而
故 3． 设
为三维单位列向量，并且
记
证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （
Ⅱ）A
相似于矩阵
则
故
Ax=0有非零解.
（Ⅱ
）由（Ⅰ）知向量.
又且另外，由
故
可知
为A 的特征值，为4的2重特征值，
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
故A
有零特征值
的非零解即为
对应的特征
【答案】
（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，
且
为两个正交的非零向量，
从而线性无关. 故
线性无关的特征向量，
记
则
即A 相似于矩阵
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4． 设A
为
的解为【答案】
由
矩阵
且有唯一解. 证明：
矩阵为A 的转置矩阵）.
易知
为可逆矩阵，
且方程组
只有零解.
使
.
所
只有零
有惟一解知
则方程组
. 即
即有
可逆.
利用反证法，
假设以有
解矛盾，故假设不成立，
则
由
.
得
有非零解，即存在
于是方程组
有非零解，这与
二、计算题
5． 在某国，每年有比例为p 的农村居民移居城镇，有比例为q 的城镇居民移居农村. 假设该国总
人数不变，
且上述人迁移的规律也不变. 把n
年后农村人和城镇人
占总人的比例依次记为
和
（1
）求关系式
中的矩阵A ;
求
（2）设目前农村人口与城镇人口相等
，【答案】（1）这是一个应用问题.
关系式可看做是向量
的递推关系式，从而有
即把应用问题归结为求A
的
遵循这一思路，先求A. 由题设，有
故
的特征向量为
其中
，
因此
再求A 的特征值和特征向量. 易求得A
的特征值对应于
令
的特征向量为
则P 可逆，
且
对应于