2018年苏州大学电子信息学院627专业综合(1)(线性代数、生物化学)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
2． 设A
为
的解为【答案】
由
利用反证法，
假设以有
解矛盾，故假设不成立，
则
由
.
得
矩阵
为任意常数. 且
有唯一解. 证明：
矩阵为A 的转置矩阵）.
易知
则方程组
. 即
即有
可逆.
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为可逆矩阵，
且方程组
只有零解.
使
.
所
只有零
有惟一解知
有非零解，即存在
于是方程组
有非零解，这与
3．
设矩阵.
【答案】
求A 的特征值，并讨论A 是否可对角化? 若A 可对角化，则写出其对角
于是A 的3
个特征值为（Ⅰ）当
且
时，A 有3个不同特征值，故4可对角化，且可对角化为
（Ⅱ）当a=0时
，
此时A 有二重特征值1，
仅对
应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
（Ⅲ）
当
时
，
此时
A
有二重特征
值
而
仅对应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
4．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
又由
得
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因
与
可知综上可知
，
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是
得的基础解系.
那么
二、计算题
5．
设
线性相关
，
也线性相关，问
不一定线性相关.
向量组Ⅱ
:线性无关.
，则这两向量组均线性相关，但
是否一定线性相关? 试举例说明之.
【答案】
向量组例如令向量组∣
:向量组
6． 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次方程组的基础解系：
（1
）
（2
）
【答案】（1）増广矩阵
据此，得原方程组的同解方程
取
得特解
取
得对应齐次方程基础解系
（2）增广矩阵
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