2017年江西财经大学统计学院601专业基础(数学分析85分,高等代数65分)考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
具有性质
【答案】(1) 由
得
即(2) 令
令
则有
2． 证明：为Ⅰ
上凸函数的充要条件是对任何凸函数。
【答案】充分性，设
为
上的凸函数，则对任何的
及
故
为Ⅰ上的凸函数。
为I 上的凸函数，则对任何的
及
有
必要性，设
有
函数
为
上的
对
两边关于求偏导数得
证明：
故
3． 证明反常积分
【答案】因为
所以只需证明记
收敛即可.
则对任意u>l,
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为上的凸函数。
是收敛的.
g (x )
在上单调递减，并且收敛，故
收敛.
上一致连续.
有
由狄利克雷判别法可知
4． 证明sinx 在
【答案】对于任意的
对任给的
在
5．
设级数
【答案】级数可记为
一个
又
都是及
时
，为
取
则对一切
当
时，
有
故
上一致连续。
上正的递减且收敛于零的函数列，每一个
在
设
为收敛于零的函数列，
故
都是则
又对每一个
上一致收敛，从而也必收敛.
在
上的单调函数，则
一致有界. 由每
上不仅收敛，而且一致收敛.
上的单调函数可得
是单调的，由狄利克雷判别法可知，原级数在
二、解答题
6． 试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点使.
【答案】（1）f （X ）在
上连续，又因为
所以
在x=0右连续. 故f （x ）在
内连续
.
故f （x ）在（2）所以
时
，
函数f （x
）在区间内不存在
7． 求下列函数的周期：
（1）
（2）
使.
在x=0不可导.
则
在
时
内可导，且
根据罗尔中值定理，存在一点
上不满足罗尔中值定理的条件.
当
所以
故
使
（3）
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【答案】（1）
（2）由tanx 的周期是可知，（3
）
的周期
的周期是
.
的周期的周期是的周期
做的周期是
4和6的最小公倍数是12,
故
8． 计算下列第一型曲线积分：
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
【答案】(1)
(2) 右半圆的参数方程为
从而
(4) 由于圆的参数方程为从而
(5)
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其中是以为顶点的三角形；
其中是以原点为中心，为半径的右半圆周； 其中为椭圆，其中为单位圆周.
其中
为螺旋线
在第一象限中的部分；
的一段；
的一段；
与
相交的圆周.
其中是曲线_
其中是