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一、证明题

1． 设f 在明：

存在一点

使得

【答案】由连续函数的最大、最小值定理知为m , 最大值为M. 于是

由

和在

上有最小值和最大值. 设其最小值

得

由介值性定理知，存在

2． 证明公式：

这里数.

【答案】设S 为球面

则有

考虑新坐标系

它与原坐标系

共原点，

且

在新坐标系

中，

则

从而

3． 应用凸函数概念证明如下不等式：

(1) 对任意实数a ，b , 有(2) 对任何非负实数a ，b ，

有【答案】有

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上连续另有一组正数满足证

使得

在时为连续函

平面为坐标系的平面

，

轴过原点且垂直于该平面，于是有

这里的S 仍记为中心在原点的单位球面，将S 表示为：

恒成立，故

是

上的凸函数，令定义中的当

时

.

从而

则

是

因，

上的凹函数. 故由定义可知，对任意非负实数即

有

4． 设

【答案】

. 下证

是数列

(反证法) . 假设x 0不是数列因

为

对

则一定有

矛盾. 于是必有一个聚点。

5． 证明sinx 在

【答案】对于任意的

试证：数列

的聚点，则存在

的聚点全体恰为闭区间

不含有数列

所以存在自然数来说，

或者

如若不然，则有

N ，

当或者

于是

时，

有

这是因为

.

这与

的即

不妨设

的一个聚点。

的任意一项. 这里

这说明B 不可能是数列的聚点. 矛盾. 因此，是数列

上一致连续.

有

对任给的

在

取

则对一切

当时，

有

故

上一致连续。

二、解答题

6． 设

【答案】因为

求

所以由链式法则得到

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最后以 7． 设大值.

【答案】先求f 在条件

代入即可.

为已知的n 个正数，求

在限制条件

下的最

下的最大值. 设

令

解得

于是f 在条件

故f 在条件

下的最大值为下的最大值为

8． 求

【答案】

而

于是

原积分

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