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2018年南京医科大学公共卫生学院(二)601高等数学三之概率论与数理统计考研核心题库

  摘要

一、证明题

1. 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布

【答案】二项分布因为而

所以当

的特征函数为

时,

正是泊松分布的特征函数,故得证.

可表示为两个互不相容事件之并,譬如

【答案】⑴

(2)利用加法公式可得

3. 证明下列事件的运算公式:

(1)(2)

【答案】(1)右边=(2)利用(1)

=左边. , 所以

的样本,证明

在给定

是充分统计量. 后,对任意的

2. 任意两事件之并

其中

(1)试用类似方法表示三个事件之并(2)利用(1)的结果证明

4. 设

是来自泊松分布

【答案】由泊松分布性质知

该条件分布与无关,因而

5. 设随机变量

【答案】若随机变量而

这就证明了

6. 对于组合数

(1)(2)(3)(4)(5)(6)

【答案】(1)等式两边用组合数公式展开即可得证. (2)因为

(3)因为

(4)因为

所以

(5)设计如下一个抽样模型:一批产品共有a+b个,其中a 个是不合格品,b 个是合格品,从中随机取出n 个,

则事件=“取出的n 个产品中有k 个不合格品”的概率为

是充分统计量.

也服从

从而

证明

,证明:

由诸互不相容,且

把分母移至另一侧即得结论.

注:还有另一种证法:下述等式两端分别展开

可得

比较上式两端的系数即可得

(6)在(5)中令

,则得

再利用(1)的结果即可得证.

7. 证明:对正态分布

,若只有一个观测值,则的最大似然估计不存在.

【答案】在只有一个观测值场合,对数似然函数为

该函数在似然估计不存在. 8. 设在常数c

为独立同分布的随机变量序列,方差存在,令使得对一切n 有

证明:

服从大数定律.

对任意的

因而

证明有

时趋于,这说明该函数没有最大值,或者说极大值无法实现,从而的最大

. 又设

为一列常数,如果存

【答案】不妨设