2018年南京医科大学公共卫生学院(二)601高等数学三之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1. 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布
则
【答案】二项分布因为而
所以当
的特征函数为
时,
则
正是泊松分布的特征函数,故得证.
可表示为两个互不相容事件之并,譬如
【答案】⑴
(2)利用加法公式可得
3. 证明下列事件的运算公式:
(1)(2)
【答案】(1)右边=(2)利用(1)
有
=左边. , 所以
的样本,证明
在给定
是充分统计量. 后,对任意的
有
2. 任意两事件之并
其中
若
(1)试用类似方法表示三个事件之并(2)利用(1)的结果证明
4. 设
是来自泊松分布
【答案】由泊松分布性质知
该条件分布与无关,因而
5. 设随机变量
【答案】若随机变量而
这就证明了
6. 对于组合数
(1)(2)(3)(4)(5)(6)
【答案】(1)等式两边用组合数公式展开即可得证. (2)因为
(3)因为
(4)因为
所以
(5)设计如下一个抽样模型:一批产品共有a+b个,其中a 个是不合格品,b 个是合格品,从中随机取出n 个,
则事件=“取出的n 个产品中有k 个不合格品”的概率为
是充分统计量.
则
也服从
从而
证明
,证明:
;
由诸互不相容,且
得
把分母移至另一侧即得结论.
注:还有另一种证法:下述等式两端分别展开
可得
比较上式两端的系数即可得
(6)在(5)中令
,则得
再利用(1)的结果即可得证.
7. 证明:对正态分布
,若只有一个观测值,则的最大似然估计不存在.
【答案】在只有一个观测值场合,对数似然函数为
该函数在似然估计不存在. 8. 设在常数c
为独立同分布的随机变量序列,方差存在,令使得对一切n 有
则
证明:
服从大数定律.
对任意的
因而
证明有
时趋于,这说明该函数没有最大值,或者说极大值无法实现,从而的最大
. 又设
有
为一列常数,如果存
【答案】不妨设
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