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一、证明题

1． 设总体为如下离散型分布

表

是来自该总体的样本.

（1）证明次序统计量（2）以表示【答案】（1）给定但必有

中等于

是充分统计量； 的个数，证明的取值

于是，对任一组并

设满足

是充分统计量.

中有个中有个

可以为0,

有

该条件分布不依赖于未知参数，因而次序统计量（2）反之，给出这只要通过令

即可实现（这里默认 2． 记

证明

【答案】

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是充分统计量.

就可算得

与是一一对应的，因为给出

也可构造出

，

），因此，是充分统计量.

由

得

3． （伯恩斯坦大数定律）设有

【答案】记有

所以

由的任意性知

所以由马尔可夫大数定律知

4． 证明下列事件的运算公式:

（1）（2）

【答案】（1）右边=（2）利用（1）

有

=左边. , 所以

服从大数定律.

证明:

是方差一致有界的随机变量序列，且当服从大数定律.

任对

存在

当

时， 时，一致地

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5． 设是来自泊松分布的样本，证明

在给定

是充分统计量. 后，对任意的

有

【答案】由泊松分布性质知

该条件分布与无关，因而

是充分统计量.

6． 设连续随机变量X 服从柯西分布，其密度函数如下:

其中参数

（1）试证X 的特征函数为（2）当（3）若

【答案】（1）因为

时，记Y=X, 试证

相互独立，且服从同一柯西分布，试证:

的密度函数为

y 的特征函数为

下证柯西分布的可加性，设若

与

相互独立，则

这正是参数为为

（2）当所以

由于

当然X 与Y 不独立.

不能推得X 与Y 独立. 的柯西分布，则特征函数为

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常记为

且利用此结果证明柯西分布的可加性；

但是X 与Y 不独立；

与

同分布.

由此得服从参数为

的特征函数

的柯西分布，其密度函数为

的柯西分布的特征函数，所以由唯一性定理知，

时有

服从参数

的柯西分布.

此题说明，由

（3）设

都服从参数为

由相互独立