2018年南京医科大学公共卫生学院(二)601高等数学三之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设二维随机变量
服从二元正态分布，其均值向量为零向量，协方差阵为
是来自该总体的样本，
证明:二维统计量
【答案】该二元正态分布的密度函数为
此处，
故
从而
注意到
上式可化解为
于是样本的联合密度函数为
由因子分解定理知，结论成立.
2． 设
令
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是该二元正态分布族的充分统计量.
相互独立，服从
证明:且
服从
相互独立，
则
【答案】令
再令则
所以变换的雅可比行列式为:
计算该行列式，可得
因为，
把雅可比行列式代入上式可得
由此可知
相互独立，且服从
3． 用概率论的方法证明:
【答案】设故
服从参数
为独立同分布的随机变量序列，其共同分布为参数
又由泊松分布的可加性知，
的泊松分布. 由林德伯格-莱维中心极限定理知
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的泊松分布
4． 试用特征函数的方法证明分布的可加性:若随机变量
则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是
5． 设
分布
的特征函数，由唯一性定理知
且X 与Y 独立，
为独立随机变量序列，且
服从大数定律.
相互独立，且
服从大数定律.
的随机变量，试证明:
由此可得马尔可夫条件
证明:
【答案】因为由马尔可夫大数定律知
6． 令【答案】
表示服从二项分布
7． 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性:若随机变量与Y 独立，则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是伽玛分布
8． 从正态总
的特征函数，由唯一性定理知
且X
. 中随机抽取容量为100的样本，又设的先验分布为正态分布，证明:不管
，由共轭先验可知，的后验分布仍为正态分布. 由于n=100，
，
先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.
【答案】设的先验分布为其中所以
故，不管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.
二、计算题
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