2018年南京医科大学公共卫生学院(二)601高等数学三之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
是来自正态分布
的样本，证明，在给定
下
是充分统计量. 的条件密度函数为
【答案】由条件，
它与无关，从而
2． 对于组合数
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
【答案】（1）等式两边用组合数公式展开即可得证. （2）因为
（3）因为
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是充分统计量.
，证明:
；
（4）因为
所以
（5）设计如下一个抽样模型:一批产品共有a+b个，其中a 个是不合格品，b 个是合格品，从中随机取出n 个，
则事件=“取出的n 个产品中有k 个不合格品”的概率为
由诸互不相容，且
得
把分母移至另一侧即得结论.
注:还有另一种证法:下述等式两端分别展开
可得
比较上式两端的系数即可得
（6）在（5）中令
，则得
再利用（1）的结果即可得证.
3． 设
为来自
的i.i.d 样本，其中，样本的联合密度函数为
两个参数空间分别为
利用微分法，在下而在
下
的MLE 为
分别为
的MLE.
未知.
）.
证明关于假设【答案】记
的单侧t 检验是似然比检验（显著水平
于是似然比统计量为
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在此时
为
时，由于，故只需考虑的情形，
的单调增函数，故此时的似然比统计量是传统的t 统计量的增函数，
即此时的似然比检验等价于单侧的t 检验，拒绝域由t 检验的结论知，
4． 设总体
证明:
【答案】大家知道:则
分别是
，这就完成了证明. 为样本，
分别为, 的无偏估计，设
的UMVUE.
是0的任一无偏估计，
*
即
将
式两端对求导，并注意到
有
这说明为证明是
，即
，于是
式的两端再对求导，得
由此可以得到的项，有
这表明这就证明了是
5． 设
由此可得到的UMVUE ,
，因而
t
，下一步，将
式两端对
求导，略去几个前面已经指出积分为0
，从而是的UMVUE.
的UMVUE ，我们将
为独立随机变量序列，且
服从大数定律.
相互独立，且
服从大数定律.
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证明:
【答案】因为由马尔可夫大数定律知
由此可得马尔可夫条件