2018年南开大学数学科学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 掷一颗骰子100次，记第次掷出的点数为试求概率
利用林德伯格-莱维中心极限定理，可得
这表明:掷100次骰子点数之平均在3到4之间的概率近似为
2． 设随机变量X 和Y 独立同分布，且
试求P （x=y）.
【答案】利用独立性可得
3． 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以min 计）服从指数分布，其密度函数为
某顾客在窗口等待服务，若超过他未等到服务而离开窗口的次数，试求
【答案】因为
4． （1）设然估计量.
【答案】 （1）
第 2 页，共 28 页
点数之平均为
【答案】由题意可得
很接近于1.
他就离开. 他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内
所以得
，其
中
, 即X 服从对数正态分布, 验证; , 求
的最大似
（2）设自（1）中的总体X 中取一容量为n 的简单随机样本
（2）
的密度函数为
设
则似然函数为当
时,
, 且
令
, 解得
的最大似然估计值为
从而得到
的最大似然估计量为
故E （X ）的最大似然估计量为
5． 设X 和Y 是相互独立的随机变量，且
求Z 的分布列.
【答案】因为X ，Y 相互独立，所以其联合密度函数为
由此得
6． 设X 和Y 为两个随机变量，且
试求
【答案】因为
,
由此得可得再由
第 3 页，共 28 页
是相应于的样本值,
，如果定义随机变量Z
如下
•
，同理由，
，
得，，所以
7． 设
是来自正态分布. 的样本.
（1）在已知时给出的一个充分统计量； （2）在已知时给出的一个充分统计量. 【答案】（1）在已知时，样本联合密度函数为
令
取
由因子分解定理，（2）在
为
的充分统计量.
已知时，样本联合密度函数为
令取
由因子分解定理，为的充分统计量.
8． 将n 个完全相同的球（这时也称球是不可辨的）随机地放入N 个盒子中，试求:
（1）某个指定的盒子中恰好有k 个球的概率； （2）恰好有m 个空盒的概率；
（3）某指定的m 个盒子中恰好有j 个球的概率.
【答案】先求样本点总数，我们用N+1根火柴棒排成一行，火柴棒之间的N 个司隔恰好形成N 个盒子，并依次称它们为第1个盒子，第2个盒子，…，第N 个盒子，n 个球用“0”表示，考虑到两端必须是火柴棒方能形成N 个盒子，所以n 个（不可辨）球放入N 个（可辨）盒子中，就相当于把N-1根火柴棒（N+1根火柴棒中去掉两端的两根）和n 个“0”随机地排成一行，譬如N=4, n=3时，“10010111”表示第1个盒子中有2个球、第2个盒子中有1个球、第3、4个盒子中无球，这样一来，n 个球放入N 个盒子所有的样本点总数相当于:从N-l+n个位置任选n 个位置放“0”、其他位置放火柴棒，故样本点总数为
（1）记A 为事件“指定的某个盒子中恰有k 个球”，不失一般性，可认为第1个盒子中有k 个球，则余下n-k 个球放入另外N-1个盒子中，类似于样本点总数的计算，
此种样本点共有
，考虑到球不可辨故
第 4 页，共 28 页
相关内容
相关标签