2018年南京医科大学公共卫生学院(二)601高等数学三之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设T 是
证明:若
【答案】因为T 是即这说明
*
即
2． 若
【答案】因为
，证明:
.
•，所以得
由此得
结论得证.
3． 对于组合数
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
【答案】（1）等式两边用组合数公式展开即可得证. （2）因为
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的UMVUE ,
，则，且
是的另一个无偏估计，
的无偏估计，故其差，由判断准则知1
是0的无偏估计，
，
的UMVUE ，是
，证明:
；
（3）因为
（4）因为
所以
（5）设计如下一个抽样模型:一批产品共有a+b个，其中a 个是不合格品，b 个是合格品，从中随机取出n 个，
则事件=“取出的n 个产品中有k 个不合格品”的概率为
由诸互不相容，且
得
把分母移至另一侧即得结论.
注:还有另一种证法:下述等式两端分别展开
可得
比较上式两端的系数即可得
（6）在（5）中令
，则得
再利用（1）的结果即可得证.
4． 若因为
所以有
5． 设总体为
证明样本均值和样本中程【答案】由总体
，即得
.
为样本，
都是的无偏估计，并比较它们的有效性. 得
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，证明:对任一事件B , 有
，所以由单调性知
.
，从而得
，又
【答案】因为
因而
这首先说明样本均值为求样本中程注意到则
是的无偏估计，且
的均值与方差，
令
由于从而
这就证明了样本中程是的无偏估计. 又注意到
所以
从而
于是
在
时,
这说明作为0的无偏估计，在
比样本均值有效. 间的相关系数分别为
且
令
证明:
两两不相关的充要条件为
则
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故
时，
样本中程
6． 设随机向量
【答案】充分性:若