2018年南京财经大学应用数学学院823高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设A ，B ，U , V 均为
可以由
矩阵，
且线性表示，同理
证明：存在可逆矩阵T , 使得因为
可以由
所以
线性表示，故A ，
【答案】将A , B 按列分块，
记
B 的列向量组等价，于是存在可逆矩阵T , 使得 2． 设
（1）求满足
，
的所有向量证明施以初等行变换
； 线性无关.
（2）对（1）中的任意向量【答案】（1）对矩阵
可求得
其中k 为任意常数. 又
对矩阵
施以初等行变换
可求得
.
其中a ，b 为任意常数 （2）证法1:由（1）知
所以线性无关.
设存在数
使得
（1）
证法2:由题设可得等式两端左乘A , 得
）
即
等式两端再左乘A ，得
即于是
3． 设
【答案】
应用辗转相除法可得
所以f （x ）有重因式. 又
所以f （x ）的不可约因式只有x+1和x-2考虑到的4重因式. 因此，f （x ）的标准分解式是
可知x+1是f （x ）
从而
，代入式（2），得
线性无关.
判断f （x ）是否有重因式，并求f （x ）的标准分解式.
，故
将
代入式（1），可得
4． 设为n 阶行列式. 中元素的代数余子式.
的所有代数余子式的和（用M 表示）与
的所有代数余子式的
证明:②行列式
和（用N 表示）相等；
③当D 为偶数阶反对称行列式时【答案】①由直接拆项可知：
将等号右边两个行列式都从第一列开始，每列都减去下一列，则二者的前列相同，且由拆项（第n 列）性质知，其差就是②由上题可知，
且行列式
由上即得③此时
即
列都与
的前
的主对角线上元素的代数余子式都是奇数阶反对称行列式，因而其值都为0; 而非主
即
，因此
故由（2）知：
对角线上元素的代数余子式均有
5． 在中定义线性变换
求【答案】
故
在
下的矩阵是
类似的计算可得.
在
下的矩阵分别是
在基下的矩阵.
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