2018年湖南师范大学数学与计算机科学学院841高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、填空题
1． （1）线性方程组
（2）若A 是（3）设n 维向量（5）令
有解的充分必要条件是_____
矩阵，秩A=r秩B=s, AB=0则n , r , s 的关系是_____
由向量组
线性表示，则
一定_____
（4）秩A=r则A 的所有r+2级子式=_____而A 的所有r 级子式_____；
Q 为可逆阵，则A 的广义逆G 必是形式为_____的矩阵；
（6）两个n 级方阵A 与B 是合同的，则B=_____ （7）设V 1, V 2是V 的子空间，维V 1=维V 2=m, 维（8）在空间【答案】（1）秩
（2）
（3）线性相关.
（4）0; 至少有一个不为0. （5）（6）
（7）（8）0； P 【解析】（3）因为
线性相关.
（5）令
那么
（7）因为维（8）取
的一组基为
维
维则
维
可由
线性表出，所以秩
秩
此即
，其中T 为n 级可逆阵.
中，线性变换秩
则维（V 1+ V2）=_____
则D 的特征值是_____，D 的核是_____
D 的特征值全为0, 且（因为常数的导数等于0）.
2． 二次型
【答案】2
【解析】二次型的秩即其矩阵的秩，该二次型矩阵
3． 设矩阵
的秩为_______
显然r （A ）=2
且秩【答案】-3. 【解析】但
时秩
则 k=_____.
则从而k
，所以
或
4． 设
其中，【答案】【解析】因
则线性方程组
所以
的解是_____. 有唯一解，
由克莱姆法则，并结合行列式性质，立知
二、分析计算题
5． 设是数域K 上线性空间V 到的一个双射. 证明:
【答案】若是同构映射, 则
反之, 若上式成立, 则取从而为同构映射.
6． 求以下
①
能整除
的条件：
是同构映射当且仅当
与分别得
②
【答案】①用令②因次
. 得. 次
去除，
可得商和余式分别为：
，即
故商必为2次且首系数为1, 令
展开后比较两端同次项系数可得：
由此解得：
或
-这就是g （x ）整除f （x ）的条
件.
7． 设是n 维欧氏空间V 中一单位向量, 定义
证明: （1）
（2）
是正交变换. 这样的正交变换称为镜面反射； 是第二类的；
以1作为一个特征值, 且属于特征值1的特征子空间
于是
所以
在这组基下的矩阵为
是镜面反射.
（3）如果n 维欧氏空间中, 正交变换的维数为
那么
【答案】 （1）将扩充成V 的一组标准正交基；
因为A 是正交矩阵, 所以（2）因为（3）则令
是
如
所以则
是正交变换. 是第二类的.
中一个单位向量
可表成
不可能, 所以
对V 中任意向量
的一个1维不变子空间, 取