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一、计算题

1． 图所示单摆, 摆长为1, 小球质量为m , 其悬挂点以加速度向上运动. 试选择单摆的摆角为广义坐标建立系统的运动微分方程, 并求单摆作微振动的周期

.

图

【答案】建立与挂点固定的坐标系, 如图所示.

单摆相对于挂点作摆动,

以摆角为广义坐标系,

参照物为挂点

系统在新参考系下的广义力和系统的动能为:

代入拉格朗日方程

可得:

根据单摆的周期公式可得:

加速度为

则

2． 两均质杆和上端铰支固定, 下端与杆AB 铰链连接, 静止时

的最大偏角

.

与均铅垂, 而AB 水

平, 如图1所示. 各铰链均光滑, 三杆质量皆为m , 且右的碰撞力, 该力的冲量为I , 求碰撞后杆

如在铰链A 处作用一水平向

图1

【答案】

分别取

AB 为研究对象, 其运动分析如图2所示

图2

设碰撞结束时, 铅垂杆的角速度是图可得,

杆OA :

杆

其中,

, 水平杆的速度是v , 对OA 、

应用动量矩定理, 根据上

取水平杆AB 为研究对象, 应用冲量定理得:

其中,

应用动能定理得:

联立以上各式解得满足关系:

设杆OA 的最大偏角是

3． 均质细杆OA 可绕水平轴O 转动，另一端A 与一均质圆盘的中心铰接，圆盘可绕铰A 在铅，，直面内自由旋转如图1所示。已知杆OA 长为L , 质量为m ; 圆盘半径为R , 质量也为m 且各处摩擦均不计。初始时杆OA 水平，杆和圆盘静止。试求杆OA 运动到铅垂位置时:

（1）杆OA 的角速度； （2）杆OA 的角加速度； （3）O 处的约束力。

图1

【答案】（1）先用动能定理求

取圆盘为研究对象，如图2所示。由相对于质心A 的动量矩定理，可知圆盘做平移。

图2

再取整体系统为研究对象，系统初始静止，则动能为零:当杆OA 运动到铅垂位置时，动能为

整个过程中外力做功

由动能定理，有

解得