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一、证明题

1． 设曲线明

【答案】由对称性知

2． 证明：tanx 在

且

②由

上无界，而在任一闭区间

故tanx 为

上的无界函数.

时，

上有界.

则

的周长和所围成的面积分别为L 和S ，还令

证

【答案】①对任意正数M ，以1和M+1为两直角边作一直角三角形. 设其较大的锐角为

可知，tanx 在[a, b]严格递增，从而当

. 故tanx 在[a, b]上有界. 令则对一切都有

3． 区间上的连续函数如果在任何有理点为零，证明:此函数恒为零.

【答案】利用连续函数的局部保号性. 设函数为在有理点列

可以证明对于任意的无理点，函数值都为零，对于区间上的任意无理点使得

则由函数的连续性可知

即证得在任意的无理点处函数值都为零.

又由已知函数在任何有理点为零，故此函数恒为零.

4． 证明：

若

【答案】

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存

在上可导，

且

对

有，

则

由于

有

已知因为

在点

故当左连续，所以

时有

即

从而

在

上连续，从而

在

上有界，B 卩

有

于是

二、解答题

5． 设

在

上连续可导，且

求证：

【答案】设显然

满足

满足（2）式. 于是

所以

6． 确定下列函数的凸性区间与拐点：

【答案】故y 的凹区间为

凸区间为当

的凸区间为

由

得

或

故y 的凹区间为

时由于得

由

得的拐点为

，

当

（即y 的凸区间为

由

。由

凹区间为

得和

解得凸区间为

或

由

由

.

时，

当

时，

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即（1）式成立。

当

时，当时，

时故y 的凹区间

为

）无实根，故y 无拐点。

由

和

得得

得

故拐点

为

解得

得

和故y 的

当凸区由

于是拐点为

故y

的凹区间为

间为

7． 计算

【答案】

和拐点为其中L 是椭圆

方向沿逆时针方向.

在任何不包含原点的区域内均有

因此对任何完全落在L 内部且包含原点的封闭曲线C ，在L 和C 所夹的区域内应用格林公式，有

其中

表示在曲线C 上方向沿顺时针方向.

选取

适当小，使

完全落在L 内，则有

8． 计算积分

【答案】积分区域D 是由

_及

所围成(如图所示) ：

由此可得

图

交换累次积分的顺序，有

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