2018年烟台大学数学与信息科学学院830高等代数考研核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 设
为方程
的三个根，使
（1）
的所有实数n ，并对每个这样的口，求出相应的【答案】令因为
，代入原方程得
（2） （3）
为（2）的三个根. 于是
（4）
在代数中有公式
（5）
在（5）中令
,
（1）当得
所以
时，
则时，
. 由于
为原方程的根，将
由此可得
（2）
当由此可得（3）当这时有
时，则
代入原方程，可解
得
代入方程，可求得
. 所
以
代入方程，得
解之，
并注意（4）式，那么（1）式变为
为原方程的三个根，所以
2． 计算以下阶行列式
【答案】解法1各列都加到第一列，再按第一列展开，得
解法2将第一列加到第二列，再将第二列加到第三列，主对角线上元素为
的一个下三角形行列式. 因此
3． 已知3阶矩阵A 的第一行是
且当当对于
求线性方程组
故，于是于是可得
由于的通解为对于如果
分别就
则
，其中和
线性无关，故
为任意常数. 进行讨论.
所以
的通解为
为
的一个基础解系，
于是
或
时，时，由
的通解.
又由
不全为零，可知
不全为零，矩阵
（k 为常数），
最后将第n 列加到第
列，即得
【答案】由于
的基础解系由一个向量组成.
又因为
为任意常数.
如果c 不全为0, 所以是
则的基础解系由两个向量构成，又因为A 的第一行为等价于
不妨设的通解为
由于
，其中
且a , b ，
的两个线性无关的解，故为任意常数.
4． 设，且是互不相同的整数，求证:
其中
不能分成两个
都是次数大于零的整系数多项式.
（1）
次数都大于零的整系数多项式之积.
【答案】用反证法. 若那么
由于现令或者即证由于
当从而有的首项系数为1，而
都是整数，由（1）式知
，那么或者时, 由（2）有
故
（3）
的首项系数为负数，这与（3）式矛盾. 从而得证.
5． 设A 是数域K 上的一个
令
（1）证明:W 关于（2）设线性方程组
的运算构成
矛盾.
1都只能等于
且两个反号，此即有
（2）
，矩阵，B 是一个m 维非零列向量.
的一个子空间；
的增广矩阵的秩为r.
证明W 的维数
（3）对于非齐次线性方程组
求W 的一个基. 【答案】 （1）显然因为存在
. 所以
即
, 此说明
W 是
的子空间.
, 由题设，其解空间V 的
维数为
，存在
的解.
. 显然，这是W 形到V 的一个双射. 又
，则
.
（2）对线
性方程组
任取
所以
是线性方程组
. ，
使
这样，存在W 到V 的映射，
，存在
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