2017年山东大学经济研究院432统计学[专业学位]之概率论与数理统计教程考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设连续随机变量X 的分布函数为
试求
（1）系数A ；
（2）X 落在区间（0.3，0.7）内的概率； （3）X 的密度函数.
【答案】（1）由F （x ）的连续性，有（2）
（3）X 的密度函数（如图）为
由此解得A=l.
图
2． 甲、乙两选手进行乒乓球单打比赛，已知在每局中甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4. 比赛可采用三局二胜制或五局三胜制，问哪一种比赛制度对甲更有利？
【答案】（1）若采用三局二胜制，则甲在下列两种情况下获胜：
所以得
（2）若采用五局三胜制，则甲在下列三种情况下获胜：
=“前三局甲胜”，
=“前三局中甲胜两局乙胜一局，第四局甲胜”，
=“前四局甲乙各胜二局，第五局甲胜”， 所以得
所以五局三胜制对甲更有利.
3． 某批产品含有N 件，其中M 件为不合格品，现从中随机抽取n 件中有X 件不合格品，则X 服从超几何分布，即
假如N 与n 已知，寻求该批产品中不合格品数M 的最大似然估计. 【答案】记未知参数M 的似然函数为L （M ; x ）=P（X=x）. 考察似然比
要使似然比化简此式可得是M 的增函数，即
类似地，要使似然比这表明，当
为整数且
必导致
时，似然函数L （M , x ）是M 的减函数，即
比较（*）式和（**）式可知，当为整数时，M 的最大似然估计为M 的最大似然估计为不为整数时，
综合上述，M 的最大似然估计为
譬如，在N=19, n=5，x=2场合，
M 的最大似然估计为7或8. 下面以实际计算加以佐证，几个
表
1
可见M 取7或8可使似然函数达到最大. 又如，在N=16，n=5，x=2场合，这时M 的最大似然估计
实际计算如下表 表2
必导致
这表明：当
为整数和
时，似然函数L （M , x ）
而当
其中[a]为不超过a 的最大整数.
由于为整数，故
如下表1所示：
，（不为整数）
可见M 取6可使似然函数达到最大.
4． 设随机变量x 与y 相互独立，x 的概率分布为
，记Z=X+Y。
（I
）求【答案】 （I
）
，则其值为非零时z 的取值区间为[-1，2]。 （II ）设z 的分布函数为F （z ）当z<-1时，F （z ）=0； 当z>2时，F （z ）=0；
当
所以z 的分布密度函数为
5． 设二维离散随机变量（X , Y ）的可能取值为
（0, 0）, （-1, 1）, （-1, 2）, （1, 0）,
且取这些值的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12, 试求X 与Y 各自的边际分布列. 【答案】由题设条件知, （X , Y ）的联合分布列为
表
1
时，
Y
的概率密度为
（II ）求X 的概率密度f （z ）。
在上面表格中按行相加, 得X 的边际分布列；按列相加, 得Y 的边际分布列:
表2