2017年山东大学经济研究院432统计学[专业学位]之概率论与数理统计考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． （格涅坚科大数定律）设
是随机变量序列, 若记
则
服从大数定律的充要条件是
【答案】先证充分性. 任对
注意到t>0时.
是增函数, 故当
因此有
所以当再证必要性. 设有
因为函数
时, 有
服从大数定律, 即
是增函数及
故则任对
服从大数定律.
存在N , 当, 得
由于的任意性, 所以
2． [1]设随机变量X 仅在区间[a，b]上取值，试证：
[2]设随机变量X 取
值
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时, 有
时,
的概率分别
是证明
：
【答案】[1]仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，因为
同理可证，
由上题的结论知
[2]仿题[1]有
3． 设0 【答案】由条件 得 试证：A 与B 独立. 再由上题即得结论. 4． 设连续随机变量x 的密度函数p （x ）是一个偶函数，F （x ）为X 的分布函数，求证对任意实数a>0，有 （1）（2）（3）且从（1）在 则 所以 （2） （3） 5． 设 【答案】若 , 证明: 服从贝塔分布, 并指出其参数. , 则X 的密度函数为 由 在 上是严格单调增函数, 其反函数 为 ， 【答案】因为p （X ）是一个偶函数，所以P （-x ）=P（x ） Z 的密度函数为 第 3 页，共 48 页 整理得 这说明Z 服从贝塔分布 6． 证明：对正态分布 , 其两个参数分别为F 分布两个自由度的一半. 若只有一个观测值，则 的最大似然估计不存在. 【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为 该函数在 时趋于 这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现， 从而 的最大 似然估计不存在. 7． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A —B 与C 独立. 【答案】因为 所以A-B 与C 独立. 8． 设分别是UMVUE. 【答案】由于 满足 的UMVUE ，证明：对任意的（非零）常数a , b , 分别是 的UMVUE , 故 且对任意一个于是 因此 9． 设 是为来自 的UMVUE. 的i.i.d 样本，其中 ）. 样本的联合密度函数为 两个参数空间分别为 利用微分法，在 下 第 4 页，共 48 页 是 的 由判断准则知 未知. 证明关于假设 的单侧t 检验是似然比检验（显著水平 【答案】记 分别为的MLE. 而在 下的MLE 为
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