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一、计算题

1． 总体的长度不大于k.

【答案】由已知条件得的0.95置信区间为

其区间长度为

若使

即样本容量n 至少取

只需

由于

，

故

时，才能保证的置信水平为95%的

，已知，问样本容量n 取多大时才能保证的置信水平为95%的置信区间

置信区间的长度不大于k.

2． 设a 为区间（0, 1）上的一个定点, 随机变量X 服从区间（0, 1）上的均匀分布. 以Y 表示点X 到a 的距离. 问a 为何值时X 与Y 不相关.

【答案】由题设条件知

所以由此方程等价于

从中解得在（0, 1）内的实根为a=0.5, 即a=0.5时, X 与Y 不相关.

3． 设某厂大量生产某种产品, 其不合格品率p 未知, 每m 件产品包装为一盒. 为了检查产品的质量, 任意抽取n 盒, 查其中的不合格品数, 试说明什么是总体, 什么是样本, 并指出样本的分布.

【答案】总体为该厂生产的每盒产品中的不合格品数；样本是任意抽取的n 盒中每盒产品的不合格品数；样本中每盒产品中的不合格品数为

的分布为

因其中

,

所以样本

可得方程

又因为

4． 杀伤性武器迫击炮弹的出口速度与炮口面积有关，现选择四个炮口面积作为因子A 的四个水平，安排一个重复数为8的单因子试验，所测出口速度（已排序）如下：

表1 出口速度数据

=原数据-200

（1）对各水平下的数据作正态性检验； （2）对各水平下的数据作方差齐性检验； （3）计算各平方和并作方差分析； （4）若因子A 显著，再作多重比较.

【答案】（1）由于各水平下的样本量相等，且都为8，故选用W 检验作正态性检验.W 统计量的值计算表如下，其中最右一列的诸是从表中查得，表中的

分别为

表2 统计量W 的计算表

对给定的显著性水平个样本都来自不同正态分布.

查表得可见诸都超过0.818，可认为这四

（2）由于各水平下的重复数相等，故可选用Hartley 检验进行方差齐性检验，其检验统计量

对给定的显著性水平下的正态总体方差彼此相等.

（3）为进行方差分析，需要计算各平方和

.

查表得

由于故可认为四个水平

把这些平方和移至如下方差分析表上，继续计算.

表

3

对给定的显著性水平四个平均出口速度间有显著差异.

查表得由于F>2.92，故因子A 显著，即

查表得

（4）由于各水平的重复数相等，故用T 法进行多重比较. 对给定显著性水平

（4，28）=3.85，临界值为

把c 与各均值差的绝对值

分别进行比较，只有

其他5个绝对值都大于7.18，这表明

间无显著差异，其他5对水平间都有显著差异.

5． 某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布, 为了解其平均寿命, 从中抽出n 件产品测其实际使用寿命, 试说明什么是总体, 什么是样本, 并指出样本的分布.

; 【答案】总体是该厂生产的电容器的寿命全体, 或者可以说总体是指数分布, 其分布为Expa ）样本是该厂中抽出的n 个电容器的寿命；记第i 个电容器的寿命

为

样本

的分布为

其中

.

则

6． 某厂一种元件平均使用寿命为1200h ，偏低，现厂里进行技术革新，革新后任选8个元件进行寿命试验，测得寿命数据如下：

假定元件寿命服从指数分布，取计算样本观测值得到若取由于

则查表知

问革新后元件的平均寿命是否有明显提高？

故拒绝域为

故拒绝原假设，认为革新后元件的平均寿命有明显提高.

故检验的统计量为

【答案】依题意，我们需要检验的一对假设为