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一、证明题

1． 证明:若与

【答案】由F 变量的构造知立, 因此F 变量r 阶矩为

, 其中. 由

且v 与W 相互独

容易算得

则当

时有

由此写出E （F ）

从而可得当r=l时, 只要

就有

在其他场合, 不存在.

当r=2时, 只要

就有

2． 从同一总体中抽取两个容量分别为mm 的样本, 样本均值分别为

, 将两组样本合并, 其均值、方差分别为

【答案】设取自同一总体的两个样本为由

得

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,

样本方差分别为

证明:

由

得

3． 口袋中有a 个白球、b 个黑球和n 个红球，现从中一个一个不返回地取球. 试证白球比黑球出现得早的概率为a/（a+b），与n 无关.

【答案】记事件A 为“第一次取出白球”，B 为“第一次取出黑球”，C 为“第一次取出红球容易B ，C 互不相容，看出，事件A ，且

记

（2）设其中

以下对n 用归纳法：

（1）当n=0时，则“白球比黑球出现得早”意味着：第一次就取出白球，所以有

则

代入可得

由归纳法知结论成立.

4． 设随机变量X 〜b （n ，p ），试证明

：

【答案】

5． 设

也是一个分布函数.

【答案】为此要验证F （x ）具有分布函数的三个基本性质.

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又设为“有n 个红球时，白球比黑球出现得早”，

都是分布函数，a 和b 是两个正常数，且a+b=l.证明：

（1）单调性. 因为于是

都是分布函数，故当

时，有

（2）有界性. 对任意的x ，有且

（3）右连续性. 6． 如果

【答案】对任意的

试证:首先考虑

的分布函数

因此

其中

为X 的分布函数, 类似有

因此

由上述两个关系式, 再考虑到的任意性,

即可得这就意味着

证毕.

7 设随机变量X 与Y 独立同分布, 且都服从标准正态分布N , 试证明:（0, 1）．相互独立.

【答案】设

则

所以

•由此得

和V=X/Y的联合密度为

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